metrische Räume < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 Di 05.06.2007 | | Autor: | Sharik |
| Aufgabe | Zeige, dass die Menge aller Polynome (aufgefasst als Teilmenge von
C([-1,1]) und entsprechend metrisiert) nicht vollständig ist. |
Hallo Leute,
also die Menge P der Polynome ist mit [mm] d_{\infty} [/mm] genau dann vollständig, wenn P abgeschlossen in C ist. Nun weiss ich nicht wie ich zeigen kann, dass P in C nicht abgeschlossen ist
bin dankbar für jede Idee
Sharik
|
|
| |
|
Hiho,
ein Raum ist dann vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in diesem Raum auch konvergent ist. In sofern wäre es doch einfacher eine Cauchy-Folge zu finden, die in P nicht konvergiert.
MfG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:52 Di 05.06.2007 | | Autor: | Sharik |
> Hiho,
>
> ein Raum ist dann vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in
> diesem Raum auch konvergent ist. In sofern wäre es doch
> einfacher eine Cauchy-Folge zu finden, die in P nicht
> konvergiert.
Ich habe gerade einen Satz gefunden der besagt, dass wenn ich eine Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] n\in \IN [/mm] in P habe, die gegen einen Punkt [mm] x\in [/mm] C konvergiert, so liegt x schon in P.
Das heißt doch, wenn ich ein Gegenbeispiel gefunden habe ist die Aufgabe gelöst oder?
So jetzt fehlt die richtige Folge...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Di 05.06.2007 | | Autor: | Sharik |
Wäre dies eine Möglichkeit:
[mm] x_n:[-1,1] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^k}{k!}
[/mm]
mit x:=exp eingeschränkt auf [-1,1].
|
|
|
| |
|
Hiho,
die Idee ist gut, ich schreibs nur mal anders auf:
Sei [mm](g_n) \subseteq P[/mm] mit [mm]g_n(x) = \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^k}{k!}[/mm]
Nun musst du nur noch zeigen:
1.) [mm] (g_n) [/mm] ist Cauchy-Folge
2.) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}g_n \not\in P[/mm]
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:20 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Sharik |
Ah ok
zu 1) sei lim [mm] g_n [/mm] = g. Zu gegebenem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] N\in \IN, [/mm] so dass [mm] d_{\infty}(g_k,g)\ge \varepsilon/2 [/mm] für alle k [mm] \geN
[/mm]
daraus folgt [mm] d_{\infty}(g_k,g_m) \le d_{\infty}(g_k,g)+d_{\infty}(g,g_m)<\varepsilon/2+ \varepsilon/2 [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
somit ist [mm] g_n [/mm] eine Cauchyfolge
zu 2) lim [mm] g_n [/mm] = g, wobei g=exp
und exp ist nicht in C
kann man das einfach so aufschreiben?
|
|
|
| |
|
Hiho,
also dein Beweis ist so nicht richtig. Dein g existiert ja nicht zwangsweise und in P mal gar nicht, somit kannst du auch nicht mit dem Grenzwert arbeiten. In [mm] \IR [/mm] konvergiert jede CauchyFolge, hier aber nicht.
Bei einer Cauchyfolge musst du zeigen:
[mm]\forall \varepsilon \exists N \forall m,n \ge N: ||g_m-g_n||_\infty < \varepsilon[/mm]
Nun betrachte mal bitte [mm]||g_m - g_n||_\infty[/mm] und erkläre, warum du das kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] bekommst, indem du die Definition der Folge benutzt. Ohne Einschränkung kannst du annehmen, daß [mm]m \ge n[/mm] gilt.
Zu zweitens:
Wenn ihr es schon in der Vorlesung hattet, daß [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}g_n(x) = \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!} = e^x[/mm] gilt, kannst du es einfach so hinschreiben, daß [mm]e^x \not\in P[/mm].
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:46 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Sharik |
> Hiho,
>
> also dein Beweis ist so nicht richtig. Dein g existiert ja
> nicht zwangsweise und in P mal gar nicht, somit kannst du
> auch nicht mit dem Grenzwert arbeiten. In [mm]\IR[/mm] konvergiert
> jede CauchyFolge, hier aber nicht.
>
> Bei einer Cauchyfolge musst du zeigen:
>
> [mm]\forall \varepsilon \exists N \forall m,n \ge N: ||g_m-g_n||_\infty < \varepsilon[/mm]
>
> Nun betrachte mal bitte [mm]||g_m - g_n||_\infty[/mm] und erkläre,
> warum du das kleiner als [mm]\varepsilon[/mm] bekommst, indem du die
> Definition der Folge benutzt.
hm, das mag vielleicht daran liegen, dass ich noch nie verstanden habe wie man dies zeigt. Ich verstehe was die Cauchyfolge aussagt hab nur den Dreh nicht raus...
|
|
|
| |
|
Nunja, fange doch am besten damit an, daß du einfach mal [mm] g_m [/mm] und [mm] g_n [/mm] einsetzt und soweit rechnest, wie du kommst.
Den ersten Schritt mach ich:
[mm]||g_m - g_n||_\infty = ||\summe_{k=0}^{m}\bruch{x^k}{k!} - \summe_{k=0}^{n}\bruch{x^k}{k!}||_\infty[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:04 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Sharik |
Hey cool danke dir..
> Nunja, fange doch am besten damit an, daß du einfach mal
> [mm]g_m[/mm] und [mm]g_n[/mm] einsetzt und soweit rechnest, wie du kommst.
> Den ersten Schritt mach ich:
>
> [mm]||g_m - g_n||_\infty = ||\summe_{k=0}^{m}\bruch{x^k}{k!} - \summe_{k=0}^{n}\bruch{x^k}{k!}||_\infty[/mm]
das kann ich doch so zusammenfassen oder?
[mm] =||\summe_{k=0}^{m-n}\bruch{x^k}{k!}||_\infty
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hiho,
nein, kannst du leider nicht. Schreibe die Summen am besten aus, gucke was wegfällt, bzw. was übrigbleibt.
Danach machst du folgendes:
1. Die verbleibenden Summanden kannst du nach Dreiecksungleichung der Norm alle auseinanderziehen.
2. Konstanten kannst du aus der Norm rausziehen rausziehen.
3. Die Normen berechnen (bedenke: x [mm] \in [/mm] [-1,1]!).
Wenn du nicht weiterkommst, melde dich nochmal.
MfG,
Gono.
Nun
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:35 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Sharik |
> Hiho,
>
> nein, kannst du leider nicht. Schreibe die Summen am besten
> aus, gucke was wegfällt, bzw. was übrigbleibt.
also noch ein Versuch:
[mm] ||\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}+...+\bruch{x^m}{m!}||_\infty
[/mm]
> Danach machst du folgendes:
>
> 1. Die verbleibenden Summanden kannst du nach
> Dreiecksungleichung der Norm alle auseinanderziehen.
[mm] \le ||\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}||_\infty +...+||\bruch{x^m}{m!}||_\infty [/mm]
> 2. Konstanten kannst du aus der Norm rausziehen
> rausziehen.
= [mm] \bruch{1}{(n+1)!} ||x^{n+1}||_\infty+...+ \bruch{1}{m!}||x^m||_\infty [/mm]
> 3. Die Normen berechnen (bedenke: x [mm]\in[/mm] [-1,1]!).
nun komm ich nicht weiter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:55 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo Sharik 
> > Hiho,
> >
> > nein, kannst du leider nicht. Schreibe die Summen am besten
> > aus, gucke was wegfällt, bzw. was übrigbleibt.
>
> also noch ein Versuch:
>
> [mm]||\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}+...+\bruch{x^m}{m!}||_\infty[/mm]
>
> > Danach machst du folgendes:
> >
> > 1. Die verbleibenden Summanden kannst du nach
> > Dreiecksungleichung der Norm alle auseinanderziehen.
>
> [mm]\le ||\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}||_\infty +...+||\bruch{x^m}{m!}||_\infty[/mm]
>
> > 2. Konstanten kannst du aus der Norm rausziehen
> > rausziehen.
>
> = [mm]\bruch{1}{(n+1)!} ||x^{n+1}||_\infty+...+ \bruch{1}{m!}||x^m||_\infty[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > 3. Die Normen berechnen (bedenke: x [mm]\in[/mm] [-1,1]!).
>
> nun komm ich nicht weiter
[mm] $\|\cdot\|_\infty$ [/mm] ist ja die Supremumsnorm, das heißt, [mm] $\|f(x)\|_\infty:=\sup_{x\in[-1,1]} [/mm] |f(x)|$
Dieses Supremum ist aber von [mm] $f(x)=x^k$ [/mm] sehr einfach anzugeben, wenn man --wie Gonzal_IX schon sagt-- bedenkt, dass [mm] $x\in[-1,1]$.
[/mm]
Sodann erhältst Du eine Summe von m-n Summanden, die Du ruhig großzügig abschätzen kannst, z.B. jeden Summanden durch [mm] $\bruch{1}{n!}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:04 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Sharik |
Hey Marc danke
> [mm]\|\cdot\|_\infty[/mm] ist ja die Supremumsnorm, das heißt,
> [mm]\|f(x)\|:=\sup_{x\in[-1,1]} |f(x)|[/mm]
>
> Dieses Supremum ist aber von [mm]f(x)=x^k[/mm] sehr einfach
> anzugeben, wenn man --wie Gonzal_IX schon sagt-- bedenkt,
> dass [mm]x\in[-1,1][/mm].
Ach ja jetzt macht es auch bei mir endlich klick
> Sodann erhältst Du eine Summe von m-n Summanden, die Du
> ruhig großzügig abschätzen kannst, z.B. jeden Summanden
> durch [mm]\bruch{1}{n!}[/mm].
[mm] \le \bruch{1}{n!}(m-n) [/mm]
und nun???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:12 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
> Hey Marc danke
>
> > [mm]\|\cdot\|_\infty[/mm] ist ja die Supremumsnorm, das heißt,
> > [mm]\|f(x)\|:=\sup_{x\in[-1,1]} |f(x)|[/mm]
> >
> > Dieses Supremum ist aber von [mm]f(x)=x^k[/mm] sehr einfach
> > anzugeben, wenn man --wie Gonzal_IX schon sagt-- bedenkt,
> > dass [mm]x\in[-1,1][/mm].
>
> Ach ja jetzt macht es auch bei mir endlich klick
>
> > Sodann erhältst Du eine Summe von m-n Summanden, die Du
> > ruhig großzügig abschätzen kannst, z.B. jeden Summanden
> > durch [mm]\bruch{1}{n!}[/mm].
>
> [mm]\le \bruch{1}{n!}(m-n)[/mm]
>
> und nun???
Ja, hast Recht, das hilft nicht viel weiter (danke auch an Gonozal_IX für den Hinweis!)
Zum Glück ist es viel einfacher:
Die Reihe [mm] $\summe_{n=0}^\infty \bruch{1}{n!}$ [/mm] ist ja sogar konvergent in [mm] $\IR$ [/mm] (Grenzwert ist ja e) und ist damit auch Cauchy-Folge.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Sharik |
Hey cool danke euch...
|
|
|
| |
|
Der schwierige Teil ist natürlich, zu zeigen, dass der Grenzwert kein Polynom sein kann. Vielleicht wäre die Reihenentwicklung des Cosinus geeigneter, da man dann eine periodische Funktion hätte und man leicht zeigen kann, dass sich periodische Funktionen nicht durch (endliche!) Polynome darstellen lassen (da die gegen Unendlich immer divergieren).
|
|
|
| |
|
Richtiger Ansatz. Sharik, du solltest dich fragen, wie Polynome definiert sind und was sie zum Beispiel von einer unendlichen Reihe unterscheidet. Dann schau dir noch mal den Beweis für die Unvollständigkeit der rationalen Zahlen (in [mm]\IR[/mm] ) an...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 23:40 Di 05.06.2007 | | Autor: | Sharik |
Hm leider finde ich auf die schnelle keinen kompletten Beweis für die Unvollständigkeit von [mm] \IQ [/mm] und komme auch nicht mehr weiter mit meiner Folge.
Wisst ihr weiter?
|
|
|
|
