metrische Räume < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei (X,d) ein metrischer Raum. M [mm] \subset [/mm] X eine Teilmenge A die Menge aller Berührungspunkte von M.
Zu zeigen: A ist die kleinste abgeschlossene Menge mit M [mm] \subset [/mm] A |
Guten Morgen allerseits,
Meine Idee ist folgende:
Sei A' eine kleinere abgeschlossene Teilmenge aller Berührungspunkte.
=> [mm] \forall [/mm] p [mm] \in [/mm] A' [mm] \exists \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=p n\in \IN, x_{n} \in [/mm] M.
Nach Voraussetzung ist aber A aber ebenfalls eine Menge aller Berührungspunkte. Also folgt:
=> [mm] \forall [/mm] q [mm] \in [/mm] A [mm] \exists \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=q n\in \IN, x_{n} \in [/mm] M.
Falls der Grenzwert existiert, ist er eindeutig, also folgt
p=q
=> [mm] \forall [/mm] p [mm] \in [/mm] A' : p [mm] \in [/mm] A und [mm] \forall [/mm] q [mm] \in [/mm] A : q [mm] \in [/mm] A'
=> A'=A
Kann ich das so machen. Es erscheint mir irgendwie zu trivial....
Viele Grüße
Alex
|
|
| |
|
Hallo Alex,
leider nicht so ganz richtig. Versuch doch folgendes:
Es seien M und A wie in der Aufgabenstellung. Es sei B eine beliebige abgeschlossene
Menge mit [mm] M\subseteq [/mm] B. Zeige dann: [mm] A\subseteq [/mm] B. Wenn Du dann noch zeigst, dass A
abgeschlossen ist, dann bist Du fertig, denn dann hast Du gezeigt:
[mm] A=\bigcap_{B: \: M\subseteq B,\: B\:\: abgeschl} [/mm] B
Viele Gruesse,
Mathias
|
|
|
| |
|
Wo liegt denn den Fehler in meiner Argumentation? Dass der Grenzwert eindeutig ist, ist doch für diese Aufgabe wichtig, oder? Sonst würde es ja funktionieren....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Schon die Annahme ist falsch:
> Sei A' eine kleinere abgeschlossene Teilmenge aller Berührungspunkte.
$A'$ enthält doch nach Voraussetzung nicht alle Berührpunkte (das will man doch erst zeigen). Oder wie meinst du das? Jedenfalls bleibt unklar, was du hier meinst.
Was du vielleicht meinst, ist folgendes, und so wäre es dann richtig aufgeschrieben:
Sei $A$ die Menge aller Berührpunkte und $A'$ mit $M [mm] \subset [/mm] A' [mm] \subset [/mm] A$ abgeschlossen.
Ist $a [mm] \in [/mm] A$, dann gibt es eine Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] aus $M [mm] \subset [/mm] A'$ mit $a= [mm] \lim\limits_{n \to \infty} x_n$. [/mm] Da $A'$ abgeschlossen ist, gilt auch: $a [mm] \in [/mm] A'$.
Daher haben wir auch $A [mm] \subset [/mm] A'$, also: $A=A'$.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
Mein Gedanke dahinter war ein Widerspruchsbeweis. Ich nehme an, dass es so eine Menge gibt und beweise dann, dass diese Menge gleich meiner gegebenen Menge ist.
Mit dem Aufschreiben hab ich sowieso noch Probleme nur dass mein Gedankengang falsch ist, ärgert mich. Ich versuch es nochmal geordneter und bitte um Korrektur. :)
Aaalso:
zu zeigen ist, dass A die kleinste abgeschlossene Menge A [mm] \subset [/mm] X mit M [mm] \subset [/mm] A ist.
Beweis:
Sei A die Menge aller Berührungspunkte und unter dem Bilden von Grenzwerten abgeschlossen und sei A' eine weitere abgeschlossene Menge mit M [mm] \subset [/mm] A' [mm] \subset [/mm] A.
=> [mm] \exists \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=a [/mm] mit [mm] x_{n} \in [/mm] A , a [mm] \in [/mm] A'
=> a [mm] \in [/mm] A, da A' [mm] \subset [/mm] A
Umgekehrt gilt aber:
[mm] \exsists \limes_{n\rightarrow\infty}=b [/mm] mit [mm] x_{n} \in [/mm] A und b [mm] \in [/mm] A, da A abgeschlossen nach Voraussetzung.
Mit der Eindeutigkeit des Grenzwertes folgt
a=b und damit A'=A
|
|
|
| |
|
Guten Morgen allerseits,
bei Julius Beitrag wird bei mir im Browser scheinbar irgendwas falsch dargestellt, jedenfalls seh ich immer a [mm] \in [/mm] A' und nicht a [mm] \in [/mm] A und das sollte ich eigentlich sehen. :) Steht auch da, wenn man ein bisschen trickst.
Was mich an der Lösung stört (obwohl sie sicherlich richtig ist und ich irgendwas nicht verstanden habe ;) ) ist, dass die Eindeutigkeit des Grenzwertes nicht benutzt wird. Wenn es diese nicht geben würde, dann wäre es doch sicher möglich, eine kleinere abgeschlossene Menge zu finden, oder? Angenommen, es existiert ein zweiter Grenzwert von nur einer Folge mit Elementen aus M, der zwar in A' aber nicht in A ist, so wäre A' abgeschlossen und A' [mm] \subset [/mm] A.
Wäre cool, wenn dazu jemand was schreiben würde. ;)
Viele Grüße
Alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Mo 16.01.2006 | | Autor: | matux |
Hallo Alex!
Wir bedauern, dass Deine Frage nicht in der von dir eingestellten Fälligkeitszeit beantwortet wurde.
Der wahrscheinlichste Grund dafür ist, dass ganz einfach niemand, der dir hätte helfen können, im Fälligkeitszeitraum online war. Bitte bedenke, dass jede Hilfe hier freiwillig und ehrenamtlich gegeben wird.
Wie angekündigt gehen wir nun davon aus, dass du an einer Antwort nicht mehr interessiert bist. Die Frage taucht deswegen nicht mehr in der Liste der offenen Fragen, sondern nur noch in der Liste der Fragen für Interessierte auf.
Falls du weiterhin an einer Antwort interessiert bist, stelle einfach eine weitere Frage in dieser Diskussion.
Wir wünschen dir beim nächsten Mal mehr Erfolg! ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
|
|
|
|
