metrik axiome < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Di 25.04.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Seien [mm] (X_1,d_1) [/mm] und [mm] (X_2,d_2) [/mm] metrische Räume. Auf dem Produkt [mm] X:=X_1\times X_2 [/mm] werde eine Metrik definiert durch:
[mm] d((x_1,x_2),(y_1,y_2))=max(d_1(x_1,y_1),d_2(x_2,y_2)) [/mm] für [mm] (x_1,x_2),(y_1,y_2)\in X_1\times X_2 [/mm] |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute, versuche gerade die oben genannte aufgabe zu lösen, hänge jedoch bei dem 3.Axiom: [mm] d(x,y)\le [/mm] d(x,z)+d(z,y) für alle x,y,z
ich hab das folgendermaßen begonnen:
zu zeigen: [mm] d((x_1,x_2),(y_1,y_2))\le d((x_1,x_2),(z_1,z_2))+d((z_1,z_2),(y_1,y_2)) [/mm] für [mm] (x_1,x_2),(y_1,y_2),(z_1,z_2)\in [/mm] X x X
Bew: [mm] d((x_1,x_2),(y_1,y_2))\le d((x_1,x_2),(z_1,z_2))+d((z_1,z_2),(y_1,y_2)) [/mm]
[mm] \gdw max(d_1(x_1,y_1),d_2(x_2,y_2))\le max(d_1(x_1,z_1),d_2(x_2,z_2))+max(d_1(z_1,y_1),d_2(z_2,y_2))
[/mm]
ab hier komme ich nur noch auf die idee einer riesen fallunterscheidung, wo man halt alle fälle für das max der klammern die obenstehen durchgeht (ich glaube 8 fälle) nur bei manchen fällen muss man aussagen zeigen, wo ich ka habe wie man das machen muss wie zB:
Fall:
[mm] max(d_1(x_1,y_1),d_2(x_2,y_2)) [/mm] = [mm] d_1(x_1,y_1)
[/mm]
[mm] max(d_1(x_1,z_1),d_2(x_2,z_2)) [/mm] = [mm] d_2(x_2,z_2)
[/mm]
[mm] max(d_1(z_1,y_1),d_2(z_2,y_2)) [/mm] = [mm] d_2(z_2,y_2)
[/mm]
dann müsste man zeigen: [mm] d_1(x_1,y_1)\le d_2(x_2,z_2)+d_2(z_2,y_2)
[/mm]
das einzige was ich hier noch rausschließen könnte ist, dass [mm] d_2(x_2,y_2)\le d_2(x_2,z_2)+d_2(z_2,y_2) [/mm] laut den axiomen von [mm] d_2
[/mm]
das oben genannten problem tritt auch noch bei vielen anderen fällen auf.
Hat einer von euch einen tip, wie man das machen könnte oder einen anderen lösungsweg?
danke vielmals im voraus.. Gruß Ari
|
|
| |
|
Hallo Ari,
mach das doch mit der Fallunterscheidung, das sollte doch klappen.
> Fall:
> [mm]max(d_1(x_1,y_1),d_2(x_2,y_2))[/mm] = [mm]d_1(x_1,y_1)[/mm]
> [mm]max(d_1(x_1,z_1),d_2(x_2,z_2))[/mm] = [mm]d_2(x_2,z_2)[/mm]
> [mm]max(d_1(z_1,y_1),d_2(z_2,y_2))[/mm] = [mm]d_2(z_2,y_2)[/mm]
>
> dann müsste man zeigen: [mm]d_1(x_1,y_1)\le d_2(x_2,z_2)+d_2(z_2,y_2)[/mm]
Es ist doch
[mm] d_1(x_1,y_1)\leq d_1(x_1,z_1)+d_1(z_1,y_1)
[/mm]
und nun wendest Du auf die beiden Summanden der rechten Seite die
Gegebenheiten dieses Falls an (Stichwort: [mm] d_1(\ldots)\leq\max\{d_1(\ldots), d_2(\ldots)\} [/mm] ).
Viel Erfolg und
viele Grüße,
Mathias
>
> das einzige was ich hier noch rausschließen könnte ist,
> dass [mm]d_2(x_2,y_2)\le d_2(x_2,z_2)+d_2(z_2,y_2)[/mm] laut den
> axiomen von [mm]d_2[/mm]
>
> das oben genannten problem tritt auch noch bei vielen
> anderen fällen auf.
>
> Hat einer von euch einen tip, wie man das machen könnte
> oder einen anderen lösungsweg?
>
> danke vielmals im voraus.. Gruß Ari
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:17 Di 25.04.2006 | | Autor: | AriR |
den fall, denn du genannt hast, habe ich auch so gelöst.
nur bei dem bsp, denn ich in der frage aufgeführt habe, stehen da recht von dem [mm] "\le" d_2 [/mm] und nicht [mm] d_1 [/mm] :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 14:55 Fr 28.04.2006 | | Autor: | AriR |
den fall, denn du genannt hast, habe ich auch so gelöst.
nur bei dem bsp, denn ich in der frage aufgeführt habe, stehen da recht von dem und nicht :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 02.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
