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Hi, ich habe mal eine Frage zu den Difinitionen von messbaren Funktionen.
In Ana 3 hat unser Professor einen anderen Zugang zur Lebesgueschen Integration gewählt (die er in den letzten beiden Wochen vor Semesterende angeschnitten hat) und in der allerletzten Vorlesung dann die Definition einer Lebesgue-messbaren Funktion und kann sie nicht einordnen, was das bedeuten soll.
Sie lautet: Eine Funktion [mm] f:\IR^N->\bar\IR (=\IR\cup {-\infty} \cup {\infty}) [/mm] heisst (Lebesgue-) messbar, wenn es eine Folge von Treppenfunktionen [mm] (\Phi_n)_n [/mm] gibt, sodass [mm] \Phi_n->f [/mm] , [mm] n->\infty, [/mm] fast überall auf [mm] \IR^N. [/mm]
ich nummerie die Def. mal mit (1) (kriege die geschweiften Klammern um [mm] \infty [/mm] nicht hin)
Jetzt habe ich W-Theorie dieses Semester und in der Vorlesung gelernt:
[mm] (\Omega, \mathcal{A}) [/mm] messbarer Raum. Eine einfach messbare Funktion ist von der Form [mm] f=\summe_{i=1}^{n}\alpha_i*1_A_i [/mm] ,
[mm] n\in\IN, \alpha_i \in \IR, A_i \el \mathcal{A} [/mm] und [mm] 1_A_i(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in A_i \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm] (2)
[mm] (\Omega, \mathcal{A}) [/mm] messbarer Raum. Für jede nicht-negative messbare, numerische (d.h. eine funktion [mm] f:\IR->\bar\IR [/mm] ) Funktion f gibt es eine monoton nicht fallende Folge von einfach messbaren Funktionen [mm] (f_n)_n [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n:=f [/mm] (3)
[mm] (\Omega, \mathcal{A}),(\Omega', \mathcal{A'}) [/mm] messbare Räume. [mm] f:\Omega->\Omega' [/mm] heißt [mm] \mathcal{A}-\mathcal{A'}-messbar [/mm] falls für alle [mm] A'\in \mathcal{A'}: [/mm] f^(-1)(A')={ [mm] w\in\Omega: f(w)\in\mathcal{A'} [/mm] } [mm] \in \mathcal{A}. [/mm] (4)
Ich frage mich: 1 und 3 sind ziemlich ähnlich, wie kann man die beiden in Zusammenhang bringen?
Bzw. wenn 1 Lebesgue-messbar ist, was ist dann 4? Wie stehen die beiden Definitionen im Zusammenhang ? Und wie stehen die beiden Begriffe im Zusammenhang mit einfach messbar? (ich würde vll nur vermuten Lebesgue-messbare Fkt sind auch einfach messbar) Und was bedeutet das alles bzw. wozu macht man das und warum die ganzen Begriffe und wann hat man welchen Begriff?
Wie gesagt, in Ana3 haben wir das nicht benutzt und in W-Theorie ist das jetzt auch grad erst in der Vorlesung gemacht worden *durcheinander bin*
Ich wäre sehr dankbar über Hilfe.
Lg
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Hiho,
na dann wollen wir uns deiner umfangreichen Fragestellung mal annehmen.
Umfangreich ist sie deswegen, weil es "mal eben so" nicht erklärt ist, aber vielleicht bekommen wir ja einen groben Überblick hin.
Vorweg sollte vielleicht die Frage erlaubt sein, ob du die Grundlagen verstanden hast, bzw welche Grundlagen dir überhaupt vorliegen.
Bei Unterhaltungen über Meßbarkeit kommt man natürlich nicht um die Grundbegriffe wie [mm] "$\sigma$-Algebra", [/mm] "Maß", "meßbarer Raum", "Maßraum", etc drumrum.
Diese sollten klar sein, ohne lässt sich nur schwerlich Dinge erklären 
Nun zu deinen Fragen:
Der "allgemeine" Meßbarkeitsbegriff von Funktionen entspricht dem, was du bei (4) gelernt hast, heißt:
> [mm](\Omega, \mathcal{A}),(\Omega', \mathcal{A'})[/mm] messbare Räume. [mm]f:\Omega\to\Omega'[/mm] heißt [mm]\mathcal{A}-\mathcal{A'}[/mm]-messbar, falls für alle [mm]A' \in \mathcal{A'}:\; f^{-1}(A') \in \mathcal{A}[/mm]
Sind die verwendeten [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] klar, sagt man meist auch nur kurz "meßbar". Vollständigerweise müsste man jedoch immer die zugehörigen [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] angeben.
Ist nur eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] angegeben, ist damit diejenige des Urbildraums gemeint, wenn diejenige vom Bildraum klar ist.
Das ist bspw. bei Funktionen [mm] $f:\IR^n \to \IR$ [/mm] so, da man auf [mm] $\IR$ [/mm] gewöhnlicherweise die [mm] Borel-$\sigma$-Algebra [/mm] nutzt. Festzuhalten ist dabei, dass jede Funktion, die Borel-Borel-meßbar eben auch Lebesgue-Borel-meßbar ist (da [mm] $\mathcal{B} \subset \mathcal{L}$). [/mm] Und das meint man mit Lebesgue-Meßbarkeit.
Soviel zum Thema Meßbarkeit.
Thema einfache Funktionen: Eine Funktion $f: [mm] \Omega \to \IR$ [/mm] heißt einfach, wenn sie von der Form: $f = [mm] \summe{j=1}a_j*1_{A_j}$ [/mm] mit den von dir beschriebenen Eigenschaften ist.
Es ist leicht zu zeigen, dass einfache Funktionen in diesem Fall meßbar sind (kannst du ja mal üben , damit ist übrigens [mm] \mathal{A} [/mm] - [mm] \mathcal{B}(\IR) [/mm] - meßbar gemeint).
Du erkennst also, dass es eine Eigenschaft von obigen einfachen Funktionen ist, meßbar zu sein. So war bei dir mit "einfach meßbare Funktionen" nicht "eine Funktion, die einfach meßbar ist" gemeint, sondern eine "einfache Funktion, die meßbar ist".
Dann kann man zeigen, dass man jede nichtnegative meßbare Funktion f von unten durch einfache Funktionen [mm] f_n [/mm] approximieren kann. (Diese Folge kann man sogar konstruktiv angeben). Das ist bei dir (3).
Ebenso ist der Grenzwert meßbarer Funktionen wieder meßbar.
In der Summe bekomme man also eine "genau dann, wenn" Bedingung, wie du unter (1).
So, hier mach ich nun erstmal Schluß und geb dir erstmal die Möglichkeit, das durchzuarbeiten
MFG,
Gono.
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