mehrfachintegral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Lentio |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral_{T} \integral \integral (x^2+y^2)dxdydz [/mm] über [mm] T=\{(x,y,z)\in R^3|x^2+y^2\le4, 0\le z \le 2, 0\le x, 0\le y\} [/mm] |
Hallo!
Könnte jemand mir sagen, ob die Lösung so okay ist?
[mm] \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{2} x^2+y^2 [/mm] dxdydz=
[mm] \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{2} \vmat{ \bruch{1}{3}x^3+y^2x}_{0}^{2} [/mm] dydz=
[mm] \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{2}( \bruch{8}{3}+2y^2)dydz=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2} \vmat{ \bruch{8}{3}y+\bruch{2}{3}y^3}_{0}^{2} [/mm] dz
= [mm] \integral_{0}^{2} \bruch{32}{3} [/mm] dz = [mm] \vmat{ \bruch{32}{3}z}_{0}^{2} =\bruch{64}{3} [/mm] ?
Danke.
mfg,
Lentio
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Lentio,
die Grenzen können nicht stimmen, denn Deine erste Randbedingung beschreibt doch das Innere eines Kreises um den Ursprung mit einem Radius von 2 und ein Kreis hat nun mal keine feste x- oder y-Begrenzung.
Male Dir mal das Integrationsgebiet auf, dann siehst Du dies recht deutlich.
Tipp: Integriere über z als letztes und was bleibt mit den Randbedingungen für x und y vom dem ursprünglichen Kreis übrig?
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Lentio |
Hallo und danke für die Antwort.
Also so: [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le \wurzel{4-y^2}, 0\le [/mm] y [mm] \le \wurzel{4-x^2}, 0\le z\le2 [/mm] für die Grenzen?
mfg,
Lentio
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Lentio,
fast richtig, aber nicht komplett. Eine der Größen, x oder y, ist konstant und diese Größe taucht als Grenzparameter beim zweiten Integral auf. Arbeiten wir mal mit der x-Variablen als Konstante, so taucht diese in der Besttimmung der y-Grenzen auf, damit läuft x zwischen 0 und 2 und y zwischen y und [mm] \wurzel{4-x^2} [/mm]. Das ergibt genau den beschriebenen Viertelkreis als Integrationsgebiet. Natürlich musst Du dann (von innen nach außen) zuerst über y, integrieren, (hier kommt als obere Grenze das x mit rein, dann über x und abschließend über z.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Lentio |
Danke für die Hilfe.
Es ha endlich "klick" gemacht!
mfg,
llentio
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Sa 25.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Tipp: Zylinderkoordinaten
FRED
|
|
|
|
