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| Aufgabe | | Eine unausgewogene Münze wird N mal geworfen, dabei ist N eine Zufallsvariable, die poissonverteilt ist mit Parameter [mm] \lambda. [/mm] Zeigen Sie mit Hilfe der mehrdimensionalen Momenterzeugenden-Funktion, dass Anzahl der erhaltetenen Ereignisse "Kopf" und "Zahl" unabhängig voneinander sind. |
Hallo,
nochmal die originale Aufgabenstellung auf Englisch (oben habe ich selbst übersetzt):
"A biased coin is tossed N times, where N is a random variable which is Poisson distributed with parameter [mm] \lambda. [/mm] By considering the joint moment generating function, prove that the total number of heads shown is independent of the total number of tails."
Hier mein Ansatz:
Die gesamte Anzahl an Würfen ist N, dies setzt sich zusammen aus der Anzahl an Würfen bei denen Kopf gezeigt wird und der Anzahl an Würfen bei denen Zahl gezeigt wird. Sei also die Zufallsvariable X die Anzahl des Ereignisses "Kopf" und Y die Anzahl des Ereignisses "Zahl".
Dann ist N=X+Y.
Die mehrdimensionale Momenterezugende Funktion für eine zweidimensionale Zufallsvariable is definiert als
[mm] M_{X,Y}(s,t)=E_{f_{X,Y}}[e^{tX+sY}]
[/mm]
X und Y müssten meiner Meinung nach binomialverteilt mit n=x+y und der Wahrscheinlichkeit für [mm] Kopf=\theta:
[/mm]
[mm] f_{X}(x)=\vektor{x+y \\ x}\theta^{x}(1-\theta)^{y}
[/mm]
[mm] f_{Y}(y)=\vektor{x+y \\ y}\theta^{x}(1-\theta)^{y}
[/mm]
Mein Problem besteht jetzt darin, dass ich die gemeinsame Verteilung von X und Y, also die mehrdimensionale wahrscheinlichkeitsfunktion nicht aufstellen kann, es wird ja wohl nicht so sein, dass ich in der Wahrscheinlichkeitsfunktion von N, also
[mm] f_{N}(n)=\frac{\lambda^{n}e^{-\lambda}}{n!} [/mm]
einfach das n durch (x+y) ersetze und dann die Momenterzeugende-Funktion bestimme, also
[mm] M_{X,Y}(s,t)=\sum_{x}{\sum_{y}{e^{tx+sy}f_{X,Y}(x,y)}}
[/mm]
wobei [mm] f_{X,Y}=\frac{\lambda^{x+y}e^{-\lambda}}{(x+y)!} [/mm]
Wäre dankbar für jede Hilfe.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Mi 08.12.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ein Schnellschuss:
[mm] $P(X=x,Y=y)=\sum_{n=0}^\infty P(X=x,Y=y,N=n)=\sum_{n=0}^\infty P(X=x,Y=y\mid [/mm] N=n)P(N=n)$.
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Do 09.12.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
danke für die Antwort, dein Schnellschuss war richtig, ich habe es inzwischen selbst herausgefunden und abgeglichen mit den anderen Leuten in meinem Kurs, das ist in dem Fall der richtige Weg.
Vielen Dank!
LG
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