maximumsfunktion stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:47 So 07.08.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Seien $f,g : D [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] stetige Funktionen. Man zeige, dass die durch
$M(x) = max(f(x),g(x))$
definierte Funktion [mm] $M:D\rightarrow \IR$ [/mm] ebenfalls stetig ist. |
Hallo,
Da hier [mm] $\IR$ [/mm] ist dürfte man: $max(f(x),g(x))= [mm] \frac{f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|}{2}$
[/mm]
also dann ist zu zeigen:
1. $(f-g)(x)$ ist stetig . Sei [mm] $x_{n}$ [/mm] eine konvergente Teilfolge mit $lim [mm] x_{n}= [/mm] a$ und sei $lim [mm] f(x_{n}) [/mm] = f(a)$. Sei weiter [mm] $y_{n}:= f(x_{n})$ [/mm] und $lim [mm] g(x_{n}) [/mm] = g(a)$
$lim [mm] (f-g)(x_{n}) [/mm] = [mm] lim(f(x_{n})-g(x_{n})) [/mm] = lim (f(a)) - lim (g(a)) = f(a)-g(a) = (f-g)(a) $
(|f-g| ist eine komposition von abs mit f,g ; zz. x [mm] \rightarrow [/mm] |x| ist stetig: [mm] $\forall \epsilon [/mm] >0 \ [mm] \exists \delta [/mm] > 0 : ||x|-|y|| < [mm] \epsilon [/mm] , |x-y|< [mm] \delta$ [/mm]
mit [mm] $\delta [/mm] := [mm] \epsilon$ [/mm] und $||x|-|y|| [mm] \le [/mm] |x-y| $ wäre alles gezeigt. da [mm] $\delta$ [/mm] nicht von [mm] $\epsilon$ [/mm] abhängig ist wäre es wohl auch gleichmässig stetig)
Ok. Das stimmt aber nicht weil ich nicht drauf auf das $f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|$.
Nochmal:
Also f(x) stetig heisst:
[mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 : |f(x)-f(a)|< [mm] \epsilon_{1} \Rightarrow [/mm] |x-a| < [mm] \delta_{1}$
[/mm]
Und g(x) stetig heisst:
[mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 : |g(x)-g(a)| < [mm] \epsilon_{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow |x-a|<\delta_{2}$
[/mm]
DAnn ist für M(X) :
[mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 : |M(x)-M(a)| < [mm] max(\epsilon_{1},\epsilon_{2}) \Rightarrow [/mm] |x-a| < [mm] max(\delta_{1},\delta_{2})$
[/mm]
Aber ich weiss bei beiden Varianten nicht ob es stimmt???
Ich bin für jegliche Hilfestellung dankbar!
Gruss
kushkush
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Guten Morgen,
ihr hattet doch bestimmt in der Vorlesung das Summen und Differenzen von stetigen Funktionen sowie Kompositionen von stetigen Funktionen stetig sind.
Wende das auf die Funktion $ max(f(x),g(x))= [mm] \frac{f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|}{2} [/mm] $ an.
Viele Grüße
Blasco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 So 07.08.2011 | | Autor: | fred97 |
>
> Also f(x) stetig heisst:
>
> [mm]\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : |f(x)-f(a)|< \epsilon_{1} \Rightarrow |x-a| < \delta_{1}[/mm]
>
Das ist doch Quatsch. Richtig:
[mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 : x [mm] \in [/mm] D ~~und ~~|x-a| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(a)|< [mm] \epsilon$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 So 07.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo blascowitz,
> verwende die Form max(f(x),g(x) = ...
Diese Form wurde nicht hergeleitet und ich sehe auch nicht wie man das beweist. Wie macht man das????
> zeige die Summen und Differenzen
Ich habe: wegen der Stetigkeit ist $lim [mm] x_{n} [/mm] = a , lim [mm] f(x_{n})= [/mm] f(a), lim [mm] g(x_{n}) [/mm] = g(a)$
$ lim [mm] (f-g)(x_{n}) [/mm] = [mm] lim(f(x_{n})-g(x_{n})) [/mm] = lim (f(a)) - lim (g(a)) = f(a)-g(a) = (f-g)(a) $
und mit $h(x):= -g(x) $ wäre dann auch gleich $lim [mm] (f-h)(x_{n})$ [/mm] = lim [mm] (f+g)(x_{n})$ [/mm] und somit auch die SUmmen von Kompositionen stetig.
Ist das so richtig?
Hallo fred,
wäre dann dieser Beweis richtig?
Zu zeigen ist dass $M(x)$ stetig mit $M(x):= max(f(x),g(x))$ wobei f(x), g(x) stetig sind.
Es ist : [mm] $\forall x\in [/mm] D , [mm] \forall \epsilon_{1} [/mm] > 0 \ [mm] \exists \delta_{1}>0 [/mm] : [mm] |x-a|<\delta_{1} \Rightarrow [/mm] | f(x)- f(a)| < [mm] \epsilon_{1}$ [/mm]
und : [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D , [mm] \forall \epsilon_{2} [/mm] > 0 \ [mm] \exists \delta_{2}>0 [/mm] : |x-a|< [mm] \delta_{2} \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(a)|< [mm] \epsilon_{2}$
[/mm]
damit ist : [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D, [mm] \forall \epsilon>0 [/mm] \ [mm] \exists \delta [/mm] > 0 : |x-a|< [mm] max(\delta_{1},\delta_{2}) \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(a)|< [mm] max(\epsilon_{1},\epsilon_{2})$
[/mm]
stimmt das so??
> Viele Grüsse
> FRED
Danke!!!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Mo 08.08.2011 | | Autor: | Nisse |
> > verwende die Form max(f(x),g(x) = ...
>
> Diese Form wurde nicht hergeleitet und ich sehe auch nicht
> wie man das beweist. Wie macht man das????
Seien [mm]a,b \in \IR[/mm].
Zu zeigen: [mm]\max (a,b) = \frac{a+b+| a-b| }{2}[/mm]
Fallunterscheidung:
(i) a<b:
[mm]\frac{a+b+| a-b| }{2}= \cdots = \max(a,b)[/mm]
(ii) a=b:
[mm]\frac{a+b+| a-b| }{2}= \cdots = \max(a,b)[/mm]
(iii) a>b:
[mm]\frac{a+b+| a-b| }{2}= \cdots = \max(a,b)[/mm]
qed.
...und jetzt nur noch die Pünktchen durch triviales Nachrechnen ersetzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Mo 08.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Nisse,
> Fallunterscheidung
Danke!!
Gruss
kushkush
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