maximales Ideal, stetige Fkt. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Di 30.12.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei [mm] R=C[0,1]=\{f:[0,1]\to\mathbb{R}|f\,\text{stetig}\} [/mm] der Ring der stetigen Funktionen auf [0,1] mit Verknüpfungen
$(f+g)(t)=f(t)+g(t)$
[mm] $(fg)(t)=f(t)\cdot [/mm] g(t)$ für [mm] $f,g\in [/mm] R$ und [mm] $t\in[0,1]$.
[/mm]
I) Zeige:
Für alle [mm] $t\in[0,1]$ [/mm] ist [mm] $I_t=\{f\in R|f(t)=0\}$ [/mm] ein maximales Ideal in R.
II)
Gibt es weitere maximale Ideale? |
Um zu zeigen, dass [mm] $I_t$ [/mm] ein maximales Ideal in R ist, muss ich zeigen, dass
[mm] $I_t\neq [/mm] R$ und es kein Ideal [mm] $J\unlhd [/mm] R$ mit [mm] $I_t\subsetneq J\subsetneq [/mm] R$
gibt.
Das [mm] $I_t\neq [/mm] R$ ist leicht. Zum Beispiel die Funktion
$f(t)=1$ ist stetig auf $[0,1]$, aber kein Element von [mm] $I_t$, [/mm] weil die Funktion keine Nullstelle hat.
[mm] $I_t$ [/mm] enthält ja alle stetigen Funktionen mit mindestens einer(?) Nullstelle im Intervall [0,1].
[mm] $I_t$ [/mm] ist ein Ideal, denn es ist [mm] $0\in I_t$, [/mm] also einfach die Funktion f, welche im Intervall $[0,1]$ konstant Null ist.
Die Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation ist klar, für [mm] $f,g\in [/mm] R$.
Aber die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition ist im allgemeinen nicht gegeben. Enthält [mm] $I_t$ [/mm] also einfach nur die Funktion, welche konstant Null sind? Denn wenn [mm] $I_t$ [/mm] alle Funktionen mit mindestens einer Nullstelle im Intervall enthält, dann ist dies nicht abgeschlossen.
Zum Beispiel die Funktionen
$f(t)=t$
$g(t)=1-t$
Sind in R, aber $f(t)+g(t)=1$ ist nicht mehr in R.
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> [mm]I_t[/mm] enthält ja alle stetigen Funktionen mit mindestens
> einer(?) Nullstelle im Intervall [0,1].
Nein, mit $ t $ als Nustelle, nicht mit irgendeiner Nullstelle. $ t $ ist die ganze Zeit über fest gewählt. Wenn du dieses Missverständnis richtigstellst, wirst du auch die Abgeschlossenheit bezüglich Addition nachrechnen können.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Di 30.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah, ok. Ja damit ist dies klar. Wenn [mm] $f,g\in I_t$, [/mm] dann sind sie ja an der selben Stelle Null, also auch ihre Summe
f(t)+g(t)
Also enthält [mm] $I_t$ [/mm] alle stetigen Funktionen im Intervall [0,1] die an einer bestimmten Stelle $t$ Null sind. Ob andere Nullstellen vorhanden sind wäre ja erstmal egal.
Ich habe also so gesehen verschiedene maximale Ideale. Ich zeige, dass für jedes t aus [0,1] [mm] I_t [/mm] immer maximales Ideal ist, aber zum Beispiel
[mm] $I_{\frac12}$ [/mm] und [mm] $I_{\frac13}$ [/mm] sind ja verschieden.
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Ja.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Di 30.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Maximales Ideal heißt doch, dass das Ideal [mm] $I_t$ [/mm] keine Teilmenge eines weiteren Ideals ist, dass nicht mit dem Ring R übereinstimmt.
Also angenommen es gibt ein Ideal [mm] $J\unlhd [/mm] R$ mit [mm] $I_t\subsetneq J\subsetneq [/mm] R$, dann gibt es ein [mm] $f\in [/mm] J$ mit [mm] $f(t)\neq [/mm] 0$.
Hier komme ich nun nicht mehr weiter.
Erst wollte ich zeigen, dass J dann bereits mit R übereinstimmt, also das die Funktion enthalten ist welche Konstant 1 ist. Das muss aber nicht der Fall sein. Denn f kann ja dennoch irgendeine Nullstelle haben, dann kann (auch mit der Idealeigenschaft) dabei nicht mehr die Funktion herauskommen welche identisch 1 ist.
Das wäre nur möglich wenn ich wüsste, dass in J eine Funktion enthalten ist welche keine Nullstelle hat.
Obwohl, moment...
Wegen [mm] $I_t\subset [/mm] J$ gibt es ein [mm] $h\in [/mm] J$ mit $h(t)=0$ sowie [mm] $f(t)\neq [/mm] 0$. Da J ein Ideal ist, ist auch f+h wieder in J enthalten. (Abgeschlossenheit bezüglich Addition). Ich finde also Funktionen so, dass die Summe [mm] $(f+h)(t)\neq [/mm] 0$ für alle [mm] $t\in[0,1]$. [/mm]
Dann finde gibt es aber ebenso eine stetige Funktion j ,so dass [mm] $(f+h)(t)\cdot j(t)\equiv1$ [/mm] nämlich [mm] $j=\frac{1}{f+h}$. [/mm] Das geht, weil [mm] $f+h\neq [/mm] 0$ ist und j stetig ist, also in R.
Somit ist dann doch die Funktion in J, welche identisch 1 ist. Denn J ist ein Ideal, also ist für alle Funktionen [mm] $f\in [/mm] J$ und [mm] $r\in [/mm] R$ die Funktion [mm] $fr\in [/mm] J$.
Und [mm] $1\in J\Rightarrow [/mm] J=R$, was ein Widerspruch ist.
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> Wegen [mm]I_t\subset J[/mm] gibt es ein [mm]h\in J[/mm] mit [mm]h(t)=0[/mm] sowie
> [mm]f(t)\neq 0[/mm]. Da J ein Ideal ist, ist auch f+h wieder in J
> enthalten.
Ok.
> (Abgeschlossenheit bezüglich Addition). Ich
> finde also Funktionen so, dass die Summe [mm](f+h)(t)\neq 0[/mm]
> für alle [mm]t\in[0,1][/mm].
Moment. Woher kommt denn dieser Schluss? $ t $ ist von Anfang bis Ende fest gewählt, dass die Summe deiner beiden Funktionen keine Nullstelle hat, kannst du nicht schließen! Beispiel: $ t=0$. $ h=$konstant Null, f=$1/2-x $, J ein Ideal, dass $ [mm] I_0$ [/mm] und f enthält. Dann enthält J auch [mm] $f+h=x\lonmapsto [/mm] 1/2-x$. Trotzdem hat diese Funktion Nullstellen.
Also seien $ [mm] I_t\subsetneq J\subseteq [/mm] R $ Ideale. Wir wollen zeigen, dass $ J $ bereits $ R $ ist, also die Eins enthält. Sei $ f $ eine Funktion, die nicht in $ [mm] I_t [/mm] $, aber in J liegt. Es genügt, wenn wir $1=a*f+i $ mit $ a $ konstant und [mm] $i\in I_t [/mm] $ schreiben könnten (warum?). Überlege dir, dass $ a=1/f (t) $ (das ist nach Annahme definiert), $ i=1-a*f $ genau diese Forderungen erfüllen.
Edit: Hier habe ich gestern Abend Quatsch geschrieben. Mit einem solchen $ a $ dürfen wir nicht einfach multiplizieren. Aber sieh dir mal meine Antwort unten an.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Alternativ (und eigentlich einfacher) kann man sich die Äquivalenz $ I $ maximal [mm] \iff [/mm] $ R/I $ Körper zu Nutze machen: Betrachte einfach den Homomorphismus $ C [mm] [0,1]\longrightarrow\IR [/mm] $, $ [mm] f\longmapsto [/mm] f (t) $. Dass dieser surjektiv ist und Kern $ [mm] I_t [/mm] $ hat, ist leicht einzusethen und mit dem Homomorphiesatz folgt die Behauptung. Dieser Weg ist einfacher, konzeptioneller und liefert direkt eine Klassifikation von $ C [mm] [0,1]/I_t [/mm] $. Man muss nicht einmal nachrechnen, dass $ [mm] I_t [/mm] $ ein Ideal ist, das verbirgt sich in der Rechnung, dass die obige Abbildung ein Homomorphismus ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Mi 31.12.2014 | | Autor: | YuSul |
> Betrachte einfach den Homomorphismus [mm]C [0,1]\longrightarro w\IR [/mm],
> [mm]f\longmapsto f (t) [/mm]. Dass dieser surjektiv ist und Kern [mm]I_t[/mm]
> hat, ist leicht einzusethen und mit dem Homomorphiesatz
> folgt die Behauptung.
Ja, das [mm] $I_t$ [/mm] der Kern dieser Abbildung ist, ist klar. Der Kern ist ja gerade wie [mm] $I_t$ [/mm] definiert.
Die Surjektivität ist auch klar. Ich kann ja einfach die Funktionen auf einen Konstanten Wert abbilden.
Das es sich um einen Ringhomomorphismus handelt ist ebenfalls klar. So ist ja Addition und Multiplikation für Funktionen definiert.
Die Neutralelemente in C[0,1] wären ja die Funktion welche Konstant Null (neutral Element der Addition) und konstant Eins (neutral Element der Multiplikation) sind, richtig?
Das wird jeweils aber auch einfach auf Null bzw. 1 geschickt.
Wieso folgt dann mit dem Homomorphiesatz, dass [mm] $C[0,1]/I_t$ [/mm] ein Körper ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Mi 31.12.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Der Homomorphiesatz besagt jetzt [mm] C[0,1]/I_t\cong \IR. [/mm] Also...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Mi 31.12.2014 | | Autor: | YuSul |
[mm] $C[0,1]/I_t$ [/mm] ist isomorph zu [mm] $\mathbb{R}$. $\R$ [/mm] ist ein Körper, also ist auch [mm] $C[0,1]/I_t$ [/mm] ein Körper.
Sind die Homomorphiesätze eigentlich alle "gleich".
Also es gibt ja einen für Gruppen und für Ringe, aber beide machen doch im Prinzip die gleiche Aussage, oder?
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> [mm]C[0,1]/I_t[/mm] ist isomorph zu [mm]\mathbb{R}[/mm]. [mm]\R[/mm] ist ein Körper,
> also ist auch [mm]C[0,1]/I_t[/mm] ein Körper.
Ja.
> Sind die Homomorphiesätze eigentlich alle "gleich".
> Also es gibt ja einen für Gruppen und für Ringe, aber
> beide machen doch im Prinzip die gleiche Aussage, oder?
Einen allgemeinen Homomorphiesatz für algebraische Strukturen findest du ![[]](/images/popup.gif) hier unter "General".
Für einen Homomorphismus [mm] $f\colon X\to [/mm] Y$ definiert man das Kern-Paar als die Kongruenzrelation (strukturverträgliche Äquivalenzrelation) [mm] $x\sim y\iff [/mm] fx=fy$. Dann ist natürlich das Bild von $f$ bis auf Isomorphie durch dieses Kern-Paar festgelegt. Das funktioniert zum Beispiel auch für Monoide. Sobald ich wie im Fall von Gruppen (möglicherweise nichtkommutativ, ich schreibe es trotzdem additiv) "subtrahieren kann" kann ich natürlich $fx=fy$ äquivalent schreiben zu $f(x-y)=0$. Das heißt, sobald ich eine unterliegende Gruppenstruktur habe, ist das Kern-Paar bereits durch den Kern eindeutig festgelegt, also alle Elemente, die auf $0$ gehen. In den von dir genannten Fällen, Gruppen, Ringe, Vektorräume ist das der Fall und sie folgen alle aus dem allgemeinen Isomorphiesatz für algebraische Strukturen.
Die Aufgabe wenn man eine neue algebraische Struktur kennenlernt, ist eigentlich nur, zu prüfen, welche Teilmengen [mm] $T\subseteq [/mm] X$ die Eigenschaft haben, dass durch [mm] $x\sim y\iff x-y\in [/mm] T$ eine Kongruenzrelation definiert wird. Es stellt sich heraus, dass solche Teilmengen im Fall von Gruppen genau die Normalteiler, im Fall von Ringen genau die Ideale und im Fall von Vektorräumen genau die Unterräume sind.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mi 31.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Danke für die ausführliche Erläuterung.
Gut, da ich nun weiß, dass [mm] $C[0,1]/I_t$ [/mm] ein Körper ist, ist [mm] $I_t$ [/mm] ein maximales Ideal.
Injektivität, Surjektivität und die Homomorphieeigenschaften bekomme ich so wie von mir beschrieben?
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Injektivität kriegst du gar nicht, Surjektivität kriegst du, weil für [mm] $x\in\IR$ [/mm] die Funktion, die alles auf $x$ sendet stetig und ein Urbild ist, und Homomorphieeigenschaft ergibt sich direkt aus der Definition von Addition und Multiplikation in $C[0,1]$, ja.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Mi 31.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Ups, hatte gerade irgendwie an Injektivität gedacht anstelle von Kern.
Wahrscheinlich weil ein trivialer Kern eben Injektivität bedeutet...
Vielen Dank.
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