maximale ideale < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Sa 13.06.2009 | | Autor: | hopsie |
Hallo zusammen,
ich bin in meinem Algebra Skript in einem Beweis über folgendes gestolpert:
Sei A ein kommutativer Ring. Sei [mm] I\subset [/mm] A ein maximales Ideal, [mm] x\in [/mm] A aber [mm] x\not\in [/mm] I. Dann erzeugen I und (x) ganz A, d.h. (x) + I = A.
Warum gilt das? Und gilt das auch für I nicht-maximales Ideal?
Danke schonmal für die Hilfe, Grüße, hopsie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Sa 13.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo zusammen,
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> ich bin in meinem Algebra Skript in einem Beweis über
> folgendes gestolpert:
> Sei A ein kommutativer Ring. Sei [mm]I\subset[/mm] A ein maximales
> Ideal, [mm]x\in[/mm] A aber [mm]x\not\in[/mm] I. Dann erzeugen I und (x) ganz
> A, d.h. (x) + I = A.
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> Warum gilt das? Und gilt das auch für I nicht-maximales
> Ideal?
Nunja, $(x) + I$ ist ebenfalls ein Ideal von $A$, und es enthaelt $I$ echt (da $x$ in $(x) + I$ liegt, aber nicht in $I$). Damit muss aber $(x) + I = A$ sein, da $I$ sonst nicht maximal waer.
Und fuer maximale Ideale kann es gelten, muss aber nicht. Mit $x = 1$ gilt es z.B. fuer jedes Ideal.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 Sa 13.06.2009 | | Autor: | hopsie |
Ah ja klar, vielen Dank!
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