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Hallo,
ich habe eine Frage zu folgendem Beispiel zu maximalen Integralkurven:
[mm] y'=1+y^2 [/mm] , [mm] F(x,y)=1+y^2
[/mm]
Lösungen: [mm] (y_{c}(x)=tan(x-c), (c-\bruch{\pi}{2}, c+\bruch{\pi}{2})) [/mm] c [mm] \in \IR
[/mm]
Definitionsintervalle sind maximal, denn:
Annahme: Es existiert Lösung (y,I) mit Intervalllänge v: I > [mm] \pi
[/mm]
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] c [mm] \in \IR [/mm]
[mm] y|_{(c-\bruch{\pi}{2}, c+\bruch{\pi}{2})} [/mm] = [mm] y_{c}
[/mm]
aber [mm] |y_{c}(x)| \to \infty [/mm] , x [mm] \to c\pm\bruch{\pi}{2} [/mm] Widerspruch!
So, ehrlich gesagt verstehe ich nicht wirklich was man damit sagen will... Ich verstehe schon den Anfang, also warum die Lösung
[mm] (y_{c}(x)=tan(x-c), (c-\bruch{\pi}{2}, c+\bruch{\pi}{2})) [/mm] c [mm] \in \IR
[/mm]
ist, denn hier wurde berücksichtigt, dass der Tangens für 90 Grad nicht definiert ist und deswegen wurde berechnet, welche Werte x annehmen darf. So, zum einen das. Dann wird wohl gezeigt, dass dieses Intervall auch das größt mögliche ist, aber die Argumentation kann ich nicht ganz nachvollziehen...kann mir bitte jemand helfen? DANKE!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 So 16.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe eine Frage zu folgendem Beispiel zu maximalen
> Integralkurven:
>
> [mm]y'=1+y^2[/mm] , [mm]F(x,y)=1+y^2[/mm]
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> Lösungen: [mm](y_{c}(x)=tan(x-c), (c-\bruch{\pi}{2}, c+\bruch{\pi}{2}))[/mm]
> c [mm]\in \IR[/mm]
>
> Definitionsintervalle sind maximal, denn:
> Annahme: Es existiert Lösung (y,I) mit Intervalllänge v:
> I > [mm]\pi[/mm]
Das soll wohl lauten:
Annahme: Es existiert Lösung (y,I) mit Intervalllänge von I > $ [mm] \pi [/mm] $.
Die Theorie besagt nun, dass es ein c gibt mit [mm] I_c \subset [/mm] I, wobei [mm] I_c :=(c-\bruch{\pi}{2}, c+\bruch{\pi}{2}), [/mm] und dass für die Lösung [mm] y_c [/mm] gilt:
[mm] y=y_c [/mm] auf [mm] I_c.
[/mm]
Da die Länge von I größer als [mm] \pi [/mm] ist , gilt: [mm] \bruch{\pi}{2} \in [/mm] I oder [mm] -\bruch{\pi}{2} \in [/mm] I
Dann hat man aber den Widerspruch
$ |y(x)| [mm] \to \infty [/mm] $ für x $ [mm] \to c+\bruch{\pi}{2} [/mm] $ oder $ |y(x)| [mm] \to \infty [/mm] $ für x $ [mm] \to c-\bruch{\pi}{2} [/mm] $
FRED
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] c [mm]\in \IR[/mm]
> [mm]y|_{(c-\bruch{\pi}{2}, c+\bruch{\pi}{2})}[/mm] = [mm]y_{c}[/mm]
> aber [mm]|y_{c}(x)| \to \infty[/mm] , x [mm]\to c\pm\bruch{\pi}{2}[/mm]
> Widerspruch!
>
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> So, ehrlich gesagt verstehe ich nicht wirklich was man
> damit sagen will... Ich verstehe schon den Anfang, also
> warum die Lösung
> [mm](y_{c}(x)=tan(x-c), (c-\bruch{\pi}{2}, c+\bruch{\pi}{2}))[/mm] c
> [mm]\in \IR[/mm]
> ist, denn hier wurde berücksichtigt, dass der
> Tangens für 90 Grad nicht definiert ist und deswegen wurde
> berechnet, welche Werte x annehmen darf. So, zum einen das.
> Dann wird wohl gezeigt, dass dieses Intervall auch das
> größt mögliche ist, aber die Argumentation kann ich
> nicht ganz nachvollziehen...kann mir bitte jemand helfen?
> DANKE!
>
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 Mo 17.09.2012 | | Autor: | judithlein |
Alles klar. Verstanden! Danke!
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