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| Aufgabe | | Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Zeigen Sie, dass Ideale die maximal sind bezüglich der Eigenschaft, nicht Hauptideal zu sein sowie Ideale die maximal nicht endlich erzeugt sind, Primideale sind. |
Hallöle!
Also eine Idee wäre es gewesen, zu versuchen, den Beweis, dass maximale Ideale prim sind, nachzuahmen, aber irgendwie scheint das ne Sackgasse zu sein, weil man die 1 ja nicht darstellen kann.
Sei I maximal. Ist [mm] xy\in [/mm] I und [mm] x\not\in [/mm] I, so ist I+(x) echt größer, also entweder der ganze Ring, Hauptideal oder endlich erzeugt. Für den ersten Fall kriegt man die 1 und dann [mm] y=1*y...\in [/mm] I
für die anderen Fälle weiß ich aber nicht, wie das gehen sollte
Wie könnte man das also dann zeigen? Ein Ideal ist ja genau dann prim, wenn der zugehörige Faktorring ein Int.bereich ist. Nun fällt mir aber auch nicht ein, wie ich Nullteiler darin ausschließen sollte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:42 Di 01.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Zeigen Sie, dass Ideale
> die maximal sind bezüglich der Eigenschaft, nicht
> Hauptideal zu sein sowie Ideale die maximal nicht endlich
> erzeugt sind, Primideale sind.
>
> Hallöle!
> Also eine Idee wäre es gewesen, zu versuchen, den Beweis,
> dass maximale Ideale prim sind, nachzuahmen, aber irgendwie
> scheint das ne Sackgasse zu sein, weil man die 1 ja nicht
> darstellen kann.
> Sei I maximal. Ist [mm]xy\in[/mm] I und [mm]x\not\in[/mm] I, so ist I+(x)
> echt größer, also entweder der ganze Ring, Hauptideal
> oder endlich erzeugt. Für den ersten Fall kriegt man die 1
> und dann [mm]y=1*y...\in[/mm] I
> für die anderen Fälle weiß ich aber nicht, wie das
> gehen sollte
Zum ersten Teil:
Es ist $I + (x) = (z)$ fuer ein $z [mm] \in [/mm] R$. Falls $I + (x)$ ein Hauptideal ist, sagen wir $I + (x) = (z)$, gilt $I = z [mm] \cdot [/mm] (I : z)$, wobei $I : z := [mm] \{ x \in R \mid x z \in I \}$ [/mm] ein ![[]](/images/popup.gif) colon ideal ist. Beachte, dass $I : z = I : x$ ist, und dass $I : x$ und $I + (x)$ echte Oberideale von $I$ sind und somit Hauptideale, falls $x, y [mm] \not\in [/mm] R$.
Wenn du das hast, bekommst du evtl. auch eine Idee fuer den zweiten Teil.
LG Felix
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