max. Steigung aus Funktionsgl. < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Jim möchte mit seinem Geländewagen (max. Steigung, die dieser überwinden kann: 110 % bzw. α = 47.72631099°) beim illegalen Barringer-Crater-Race in Arizona teilnehmen. Der Krater hat einen Durchmesser von ca. 1,2 km.
Der Kraterquerschnitt lässt sich mathematisch annähernd durch die Funktion f(x) = 2,3 [mm] *x^5 [/mm] modellieren, wobei x den Abstand von der Kratermitte in Kilometern und f(x) die Höhe über dem Kratergrund in Kilometern angibt.
x/km 0 0.28 0,35 0,39 0,425 0,45 0,475 0,495 0,515 0,53 0,545 0,56 0,57
h/m 0 0 12,2 24,4 36,4 48,6 60,8 73,2 85,3 97,5 110 123 134 |
Hey
theoretisch muss man bei dieser Aufgabe ja "nur" die 110 % (bzw. die α = 47.72631099° Angabe) auf die angegeben Funktion f(x) übertragen und herausfinden, ob dieses bei jedem Schritt oder insgesamt möglich ist. Da ich aber nicht weiß, wie ich das zu lösen habe, bitte ich hier um Hilfestellung..
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 Mi 16.01.2013 | | Autor: | wauwau |
Da Steigung in prozent $ = [mm] 100*tan(\alpha)$ [/mm] und [mm] $tan(\alpha)=f'(x)$ [/mm] brauchst nur die Ungleichung
$f'(x) > 1,1$ lösen und schauen, ob das innerhalb des Kraters erreicht wird.
|
|
|
| |
|
Umkehrfunktion f'(x) = [mm] 23·x^4/2, [/mm] right?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ich komme auf TAN(α)=1.1, wie soll ich das in f(x)
> einsetzen?
Du musst dich hier an die Definition des Begriffes Steigung erinnern. Diese ist bekanntlich durch ein sog. Steigungsdreieck, dessen Katheten wir mit [mm] \Delta [/mm] x bzw. [mm] \Delta [/mm] y bezeichnen wollen, gegeben durch:
[mm] m=\bruch{\Delta y}{\Delta x}=tan{\alpha}
[/mm]
wobei [mm] \alpha [/mm] der Schnittwinkel einer Geraden mit Steigung m mit der x-Achse ist.
Du solltest das unbedingt irgendwo abspeichern, und zwar dauerhaft: das gehört zu den absoluten Basics, wenn man Analysis betreiben möchte!
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Bei [mm] f(x)=2,3*x^5 [/mm] ist also 2,3 m und jetzt ist bei f'(x) = [mm] 23·x^4/2 [/mm] -> m= 23/2
?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Mi 16.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Bei [mm]f(x)=2,3*x^5[/mm] ist also 2,3 m und jetzt ist bei f'(x) m =
> 1,1 und so [mm]f'(x)=1,1*x^5?[/mm]
Oh nein. Nur bei linearen Funktionen f(x)=mx+b kannst du die Steigung direkt am Funktionsterm ablesen.
Generell gilt, dass du die Steigung an einem Punkt mit der Ableitung dort berechnest.
Bei f(x)=mx+b gilt f'(x)=m, also ist die Steigung bei dieser Funktion konstant m, unabhängig von x.
Bei [mm] $f(x)=2,3*x^5$ [/mm] gilt [mm] $f'(x)=11,5\cdot x^{4}$, [/mm] die Steigung ist hier also nicht mehr unabhägnig von dem Punkt auf der Funktion.
Mache dich unbedingt mal mit den Grundlagen der Differentialrechung vertraut, dazu kann ich ![[]](/images/popup.gif) poenitz-netnur empfehlen.
Marius
|
|
|
| |
|
ja, das stimmt, das muss ich nochmal machen, danke für die Seite.
Wie kommst du auf f'(x)= [mm] 11.5*x^4? [/mm] Bei einer Umkehrfunktion sind doch einfach x- und y-Variablen zu vertauschen, wenn ich das mache (also dann [mm] x=2.3*y^5 [/mm] und nach y auflöse, komme ich auf y = [mm] 0.8465535452·x^0.2 [/mm]
Wie also [mm] y=11.5*x^4?> [/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Mi 16.01.2013 | | Autor: | zjay |
Ich weiß nicht wie du gerade darauf kommst, dass das zweitgenannte Beispiel eine Umkehrfunktion sein soll.
M.Rex hat lediglich zwei Beispiele genannt um dir näherzubringen, dass die 1. Ableitung die Steigung wiedergibt.
Deswegen gilt [mm] f(x)=2.3x^{5}
[/mm]
und die Ableitung [mm] f'(x)=2.3*5*x^{4}=11.5x^{4}
[/mm]
die Umkehrfunktion wird [mm] f^{-1}(x) [/mm] geschrieben und nicht f'(x).
aber wie bereits gesagt wurde, schau dir besser die Grundregeln der Differentialrechnung und insbesondere die Ableitungsregeln an.
mfg,
zjay
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Do 17.01.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo jahnschmidt,
das Löschen von Fragen ist hier nicht vorgesehen und ich möchte dich bitten, dies in Zukunft nicht mehr zu tun.
Im obigen Fall habe ich deine ursprüngliche Frage wiederhergestellt.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
