max. Flächeninhalt berechnen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Di 20.12.2005 | | Autor: | Janni |
| Aufgabe | | Es sei 0 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] 6. Die Gerade x=u schneidet die x-Achse in dem Punkt Q und den Graphen von f1 im Punkt P. Für welche der Geraden hat das Dreieck OQP den maximalen Flächeninhalt (O ist der Ursprung des Koordinatensystems)? |
Hallo,
ich komme mit der Frage nicht so ganz klar. Ich weiss auch - ehrlich gesagt - nicht was ich hier machen soll!?
Die Funktion zu der Aufgabe lautet.
ft:x [mm] \to [/mm] ft(X)= [mm] \bruch{1}{8}tx^{3}-1,5t x^{2}+4,5tx.
[/mm]
Vielleicht kann mir ja jemand sagen, was man da machen muss.
Ich weiss, dass man für die Berechnung des Flächeninhalt die Stammfunktion braucht und die Nullstellen. Hier sind die Nullstellen 0 un 6?! Aber was ich jetzt noch machen soll; keine Ahnung.
Es wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
Viele Grüße
Janni
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Hallo Janni!
> Ich weiss, dass man für die Berechnung des Flächeninhalt
> die Stammfunktion braucht und die Nullstellen.
In diesem Falle geht das anders, da wir ja nicht die Fläche unterhalb einer Funktion ermitteln wollen.
Am besten, man macht sich eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gesucht ist ja der Flächeninhalt eines (rechtwinkligen) Dreieckes:
[mm] $A_{\Delta} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*a*b$
[/mm]
In unserem Falle ist die horizontale Kathete $a_$ unser gesuchter Wert $u_$ und die vertikale Kathete des Dreieckes $b_$ der zugehörige Funktionswert [mm] $f_1(u)$ [/mm] .
Setzen wir dies nun in die Flächenformel ein:
[mm] $A_{\Delta} [/mm] \ = \ A(u) \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*u*f_1(u) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*u*\left(\bruch{1}{8}*1*u^3-\bruch{3}{2}*1*u^2+\bruch{9}{2}*1*u\right) [/mm] \ = \ ...$
Für diese Flächenfunktion $A(u)_$ ist nun also die Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung etc.) durchzuführen.
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Di 20.12.2005 | | Autor: | Janni |
Hallo roadrunner,
erstmal vielen Dank für Deine Hilfe.
Jetzt habe ich also die Nullstellen der 1.Ableitung ausgrechnet. Da kommt bei mir dann 6 und 3 raus!?
Dann habe ich 6 und 3 in die 2.Ableitung eingesetzt und habe als Minimum 4 [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und als Maximum -2 [mm] \bruch{1}{4} [/mm] raus. Meine Frage ist jetzt musste ich das überhaupt in die 2.Ableitung einsetzen und wenn ja, sind meine Ergebnisse dann richtig. Und was muss ich jetzt noch machen, um zu wissen für welche Gerade das Dreieck den maximalen Flächeninhalt hat?? Oder ist die Aufgabe damit fertig? Ich kann mir vorstellen, dass das für Dich ziemlich dumme Fragen sind, aber für einen Mathe-Looser wie mich, sind es dir Fragen aller Fragen;
Es wäre echt nett von Dir, wenn du mir das auch noch erklären könntest.
Vielen Dank und viele Grüße
Janni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Di 20.12.2005 | | Autor: | taura |
Hallo janni!
> Jetzt habe ich also die Nullstellen der 1.Ableitung
> ausgrechnet. Da kommt bei mir dann 6 und 3 raus!?
Fast richtig, 0 ist auch noch eine Nullstelle.
> Dann habe ich 6 und 3 in die 2.Ableitung eingesetzt und
> habe als Minimum 4 [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und als Maximum -2
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm] raus. Meine Frage ist jetzt musste ich das
> überhaupt in die 2.Ableitung einsetzen und wenn ja, sind
> meine Ergebnisse dann richtig.
Ja, sowohl deine Vorgehensweise alsauch deine Ergebnisse sind richtig, für 6 kommt also ein positiver Wert, für 3 eine negativer raus, für 0 (die Nullstelle die du noch vergessen hast) auch ein positiver.
Demnach sind bei u=6 und u=0 Minima. Wenn du dir die Zeichnung von Roadrunner nochmal anschaust kannst du dir vielleicht auch vorstellen warum 
Das einzige Maximum ist also bei u=3.
> Und was muss ich jetzt noch
> machen, um zu wissen für welche Gerade das Dreieck den
> maximalen Flächeninhalt hat?? Oder ist die Aufgabe damit
> fertig?
Jepp  Jetzt kannst du noch die Flächeninhalt für u=3 ausrechnen, also in A(u) einsetzen, musst du aber, laut deiner Wiedergabe der Aufgabenstellung, nicht unbedingt.
> Ich kann mir vorstellen, dass das für Dich ziemlich
> dumme Fragen sind, aber für einen Mathe-Looser wie mich,
> sind es dir Fragen aller Fragen;
Dumme Fragen gibts meiner Meinung nach nicht... Höchstens Fragen, bei denen klar ist, dass derjenige sich überhaupt keine Gedanken über die vorherige Antwort gemacht hat, und das ist bei dir ja nicht der Fall
Grüße taura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Di 20.12.2005 | | Autor: | Janni |
Hallo taura,
vielen Dank für Deine Hilfe. Dann ist die Aufgabe damit ja beendet.
Vielen Dank nochmal und viele Grüße
Janni
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