max. Existenzintervall AWP < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Di 04.06.2013 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
ich sitze mal wieder ratlos vor einer Aufgabe. Und zwar habe ich das Anfangswertproblem [mm] y'=y^2+x^2, [/mm] y(0)=1 gegeben. Ich soll nun zeigen, dass das max. Existenzintervall der Lösung in [mm] (-\infty,1) [/mm] enthalten ist.
Irgendwie bekomme ich noch nichtmal einen Ansatz zustande. Als Tipp habe ich bereits bekommen, dass ich mit einer Lösung des Anfangswertproblems [mm] y'=y^2, [/mm] y(0)=1 vergleichen soll. Aber das hilft mir auch noch nicht weiter...
Also bezüglich des Tipps: Ich meine mich zu erinnern, dass das maximale Existenzintervall dabei [mm] (-\infty,1) [/mm] war, aber inwiefern hilft mir das nun für mein neues Anfangswertproblem weiter?
Ich wäre euch wirklich dankbar, wenn ihr mir weiterhelfen könntet!!! Danke schonmal im Voraus!
Liebe Grüße!
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Hallo Pia90,
> Hallo zusammen,
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> ich sitze mal wieder ratlos vor einer Aufgabe. Und zwar
> habe ich das Anfangswertproblem [mm]y'=y^2+x^2,[/mm] y(0)=1 gegeben.
> Ich soll nun zeigen, dass das max. Existenzintervall der
> Lösung in [mm](-\infty,1)[/mm] enthalten ist.
>
> Irgendwie bekomme ich noch nichtmal einen Ansatz zustande.
> Als Tipp habe ich bereits bekommen, dass ich mit einer
> Lösung des Anfangswertproblems [mm]y'=y^2,[/mm] y(0)=1 vergleichen
> soll. Aber das hilft mir auch noch nicht weiter...
>
> Also bezüglich des Tipps: Ich meine mich zu erinnern, dass
> das maximale Existenzintervall dabei [mm](-\infty,1)[/mm] war, aber
> inwiefern hilft mir das nun für mein neues
> Anfangswertproblem weiter?
>
Das neue Anfangswertproblem dient zur Gewinnung einer Unterfunktion,
d.h. diese Lösung verläuft unterhalb der Lösung des gegebenen AWP's.
Ist [mm]y_{u}\left(x\right)[/mm] Lösung des neuen AWP
und [mm]y\left(x\right)[/mm] Lösung des gegebenen AWP,
so gilt:
[mm]y_{u}\left(x\right) \le y\left(x\right)[/mm]
> Ich wäre euch wirklich dankbar, wenn ihr mir weiterhelfen
> könntet!!! Danke schonmal im Voraus!
>
> Liebe Grüße!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Di 04.06.2013 | | Autor: | Pia90 |
> Hallo Pia90,
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> > Hallo zusammen,
> >
> > ich sitze mal wieder ratlos vor einer Aufgabe. Und zwar
> > habe ich das Anfangswertproblem [mm]y'=y^2+x^2,[/mm] y(0)=1 gegeben.
> > Ich soll nun zeigen, dass das max. Existenzintervall der
> > Lösung in [mm](-\infty,1)[/mm] enthalten ist.
> >
> > Irgendwie bekomme ich noch nichtmal einen Ansatz zustande.
> > Als Tipp habe ich bereits bekommen, dass ich mit einer
> > Lösung des Anfangswertproblems [mm]y'=y^2,[/mm] y(0)=1 vergleichen
> > soll. Aber das hilft mir auch noch nicht weiter...
> >
> > Also bezüglich des Tipps: Ich meine mich zu erinnern, dass
> > das maximale Existenzintervall dabei [mm](-\infty,1)[/mm] war, aber
> > inwiefern hilft mir das nun für mein neues
> > Anfangswertproblem weiter?
> >
>
>
> Das neue Anfangswertproblem dient zur Gewinnung einer
> Unterfunktion,
> d.h. diese Lösung verläuft unterhalb der Lösung des
> gegebenen AWP's.
>
> Ist [mm]y_{u}\left(x\right)[/mm] Lösung des neuen AWP
> und [mm]y\left(x\right)[/mm] Lösung des gegebenen AWP,
> so gilt:
>
> [mm]y_{u}\left(x\right) \le y\left(x\right)[/mm]
>
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> > Ich wäre euch wirklich dankbar, wenn ihr mir weiterhelfen
> > könntet!!! Danke schonmal im Voraus!
> >
> > Liebe Grüße!
>
>
> Gruss
> MathePower
Vielen Dank schonmal!
Also muss ich im Prinzip zunächst einmal die Lösung finden?
Also im gegebenen AWP ist ja [mm] y(x)=\bruch{1}{1-x} [/mm] eine Lösung.
Wie bestimme ich denn im neuen AWP die Lösung? (Ich weiß, dass ist grad ne blöde Frage, aber ich bekomms nicht hin ... :( )
Wenn ich dann gezeigt habe, dass [mm] y_u(x) \le [/mm] y(x), wie kann ich dann auf das maximale Existenzintervall zurückkommen? Muss ich dann beim neuen AWP noch betrachten was mit der Lösung für x gegen 0 passiert? Oder wie kann ich die gezeigte Unterfunktion nutzen? Mir ist der "Übergang" irgendwie noch nicht ganz klar...
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Hallo Pia90,
> > Hallo Pia90,
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> >
> > > Hallo zusammen,
> > >
> > > ich sitze mal wieder ratlos vor einer Aufgabe. Und zwar
> > > habe ich das Anfangswertproblem [mm]y'=y^2+x^2,[/mm] y(0)=1 gegeben.
> > > Ich soll nun zeigen, dass das max. Existenzintervall der
> > > Lösung in [mm](-\infty,1)[/mm] enthalten ist.
> > >
> > > Irgendwie bekomme ich noch nichtmal einen Ansatz zustande.
> > > Als Tipp habe ich bereits bekommen, dass ich mit einer
> > > Lösung des Anfangswertproblems [mm]y'=y^2,[/mm] y(0)=1 vergleichen
> > > soll. Aber das hilft mir auch noch nicht weiter...
> > >
> > > Also bezüglich des Tipps: Ich meine mich zu erinnern, dass
> > > das maximale Existenzintervall dabei [mm](-\infty,1)[/mm] war, aber
> > > inwiefern hilft mir das nun für mein neues
> > > Anfangswertproblem weiter?
> > >
> >
> >
> > Das neue Anfangswertproblem dient zur Gewinnung einer
> > Unterfunktion,
> > d.h. diese Lösung verläuft unterhalb der Lösung des
> > gegebenen AWP's.
> >
> > Ist [mm]y_{u}\left(x\right)[/mm] Lösung des neuen AWP
> > und [mm]y\left(x\right)[/mm] Lösung des gegebenen AWP,
> > so gilt:
> >
> > [mm]y_{u}\left(x\right) \le y\left(x\right)[/mm]
> >
> >
> >
> > > Ich wäre euch wirklich dankbar, wenn ihr mir weiterhelfen
> > > könntet!!! Danke schonmal im Voraus!
> > >
> > > Liebe Grüße!
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Vielen Dank schonmal!
>
> Also muss ich im Prinzip zunächst einmal die Lösung
> finden?
> Also im gegebenen AWP ist ja [mm]y(x)=\bruch{1}{1-x}[/mm] eine
> Lösung.
Nein, das ist doch die Lösung des neuen AWP.
> Wie bestimme ich denn im neuen AWP die Lösung? (Ich
> weiß, dass ist grad ne blöde Frage, aber ich bekomms
> nicht hin ... :( )
>
Die Lösung des gegebenen AWP brauchst Du nicht.
> Wenn ich dann gezeigt habe, dass [mm]y_u(x) \le[/mm] y(x), wie kann
> ich dann auf das maximale Existenzintervall zurückkommen?
> Muss ich dann beim neuen AWP noch betrachten was mit der
> Lösung für x gegen 0 passiert? Oder wie kann ich die
> gezeigte Unterfunktion nutzen? Mir ist der "Übergang"
> irgendwie noch nicht ganz klar...
>
Wenn Du jetzt noch eine Oberfunktion findest,
dann kannst Du sagen, daß die ursprüngliche
Lösung zwischen Unter- und Oberfunktion verläuft.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Sa 08.06.2013 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank für die Antwort!
Ich muss leider nochmal nachfragen, denn so wie ich das jetzt verstanden habe, denke ich, dass ich eine solche Oberfunktion gar nicht benötige?
Ich weiß ja bereits, dass die Lösung des gegebenen Anfangswertproblems immer unterhalb der Lösung des neuen Anfangswertproblems verläuft. Die obere Grenze des maximalen Existenzintervalls von dem neuen AWP ist dadurch doch auf jedenfall < 1, oder? (Kann man das formal irgendwie schön aufschreiben?)
Die untere Grenze muss aber doch im Prinzip nur > - [mm] \infty [/mm] sein und das ist sie doch eigentlich sowieso... Oder habe ich irgendwo einen Denkfehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Sa 08.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Richtig,wenn du begründet hast, warum die Lösung unterhalb liegt.
Gruß leduart
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