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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Schapka |
| Aufgabe | Bestimmen Sie bei den folgenden Funktionen den maximalen Definitionsbereich und alle auftretenden Grenzwerte.
b) f(x) = [mm] \bruch {2x^2 + 2x -4}{3x^2 + 15x +18} [/mm] |
Zu dieser Aufgabe habe ich schon eine vorgegebende Loesung, leider kann ich diese nicht ganz nachvollziehen =/
Loesung:
Es gilt f(x) = [mm] \bruch{2x^2 + 2x -4}{3x^2 + 15x +18} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} \* \bruch{(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-3)}
[/mm]
Daher gilt [mm] D_f [/mm] = [mm] \IR [/mm] \ [-2 , -3].
Mit dieser Einschraenkung erhaelt man als f(x) = [mm] \bruch{2}{3} \* \bruch{x-1}{x+3} [/mm] und daher [mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty} [/mm] f(x) = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] .
Sooo und jetzt kommt der Teil bei dem es bei mir hakt.
Ferner ist [mm] \limes_{x\rightarrow -2} [/mm] f(x) = -2 sowie lim (von unten gegen -3) f(x) = [mm] \infty [/mm] und lim (von oben gegen -3) f(x) = [mm] -\infty
[/mm]
lim (von unten gegen -3) f(x) = [mm] \infty [/mm] und lim (von oben gegen -3) f(x) = [mm] -\infty [/mm] erhalte ich doch ganz einfach, in dem ich Werte nahe der -3 einsetze oder?! Warum mache ich dann bei -2 was anderes?
Koennte mir jemand erklaeren wie man zu diesen Schritten kommt und evtl. auch eine Skizze des Graphen der Funktion anfertigen, fuers visuelle Verstaendnis?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo Schapka,
> Bestimmen Sie bei den folgenden Funktionen den maximalen
> Definitionsbereich und alle auftretenden Grenzwerte.
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>
> b) f(x) = [mm]\bruch {2x^2 + 2x -4}{3x^2 + 15x +18}[/mm]
> Zu dieser
> Aufgabe habe ich schon eine vorgegebende Loesung, leider
> kann ich diese nicht ganz nachvollziehen =/
>
> Loesung:
>
> Es gilt f(x) = [mm]\bruch{2x^2 + 2x -4}{3x^2 + 15x +18}[/mm] =
> [mm] $\bruch{2}{3} \* \bruch{(x-1)(x+2)}{(x+2)(x\red{+}3)}$
[/mm]
> Daher gilt
> [mm]D_f[/mm] = [mm]\IR[/mm] \ [-2 , -3].
> Mit dieser Einschraenkung erhaelt man als f(x) =
> [mm]\bruch{2}{3} \* \bruch{x-1}{x+3}[/mm] und daher
> [mm]\limes_{x\rightarrow\pm\infty}[/mm] f(x) = [mm]\bruch{2}{3}[/mm] .
>
> Sooo und jetzt kommt der Teil bei dem es bei mir hakt.
>
> Ferner ist [mm]\limes_{x\rightarrow -2}[/mm] f(x) = -2 sowie lim
> (von unten gegen -3) f(x) = [mm]\infty[/mm] und lim (von oben
> gegen -3) f(x) = [mm]-\infty[/mm]
>
>
>
> lim (von unten gegen -3) f(x) = [mm]\infty[/mm] und lim (von oben
> gegen -3) f(x) = [mm]-\infty[/mm] erhalte ich doch ganz einfach, in
> dem ich Werte nahe der -3 einsetze oder?!
Jo, zB.
> Warum mache ich
> dann bei -2 was anderes?
Das macht man eigentlich nicht anders, hier wurde das nur "verkürzt", da man direkt an der faktorisierten Darstellung von $f(x)$ sieht, dass $-2$ sowohl (einfache) NST des Zählers als auch (einfache) NST des Nenners ist, beide enthalten ja den Faktor $x+2$
Damit ist bei $-2$ eine hebbare Definitionslücke, der rechtsseitige und linksseitige GW für [mm] $x\to [/mm] -2$ müssen also übereinstimmen.
Wenn du die mal getrennt ausrechnest (wie bei $x=-3$), dann siehst du das ...
Bei $x=-3$ hingegen liegt eine Polstelle vor, denn es ist nur NST des Nenners, nicht aber des Zählers, daher ist da nix zu heben, man kann die Fkt an der Stelle x=-3 nicht stetig fortsetzen.
Bei $x=-2$ ginge das durch die zusätzliche Festlegung $f(-2):=-2$
>
> Koennte mir jemand erklaeren wie man zu diesen Schritten
> kommt und evtl. auch eine Skizze des Graphen der Funktion
> anfertigen, fuers visuelle Verstaendnis?
Lade dir doch das wunderbare und obendrein kostenlose Programm ![[]](/images/popup.gif) Funkyplot herunter, dann kannst du das selber machen.
Ich würde den Graphen ja posten, habe aber hier auf der Arbeit das Programm nicht installiert (und darf es auch nicht installieren :-()
>
>
> Vielen Dank im Voraus!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Schapka |
| Aufgabe | | f(x) = [mm] \bruch{2x^2-4x-6}{x^2-9} [/mm] |
Erstmal vielen Dank :) Habe es in diesem Programm kontrolliert und das passt auch alles.
Also waere es fuer die neue Aufgabe [mm] D_f [/mm] : [mm] \IR [/mm] \ [3 , -3] beim Bestimmen des Grenzwertes fuer lim von oben und unten gegen 3, der gleiche Fall wie bei dem vorherigen -2 oder? Bei beiden ergibt sich [mm] +\infty [/mm] also ist [mm] \limes_{x\rightarrow 3} [/mm] f(x) = 3 oder?
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> f(x) = [mm]\bruch{2x^2-4x-6}{x^2-9}[/mm]
> Erstmal vielen Dank :) Habe es in diesem Programm
> kontrolliert und das passt auch alles.
>
für die neue aufgabe gilt es, den nenner als 3. binom aufzufassen und entsprechend hinzuschreiben. beim zähler faktor 2 ausklammern und den rest mit der pq formel ausklammern!
dann siehst du am ende, dass sich ein linearfaktor des zählers mit einem vom nenner kürzen lässt, somit ist im def-bereich nur noch eine lücke!
> Also waere es fuer die neue Aufgabe [mm]D_f[/mm] : [mm]\IR[/mm] \ [3 , -3]
> beim Bestimmen des Grenzwertes fuer lim von oben und unten
> gegen 3, der gleiche Fall wie bei dem vorherigen -2 oder?
> Bei beiden ergibt sich [mm]+\infty[/mm] also ist
> [mm]\limes_{x\rightarrow 3}[/mm] f(x) = 3 oder?
nein, hier kommt [mm] \frac{4}{3} [/mm] heraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Schapka |
Ah faellt mir auch gerade auf :D
Also bei der pq-Formel erhalte ich 3 und -1, das waere dann doch:
2 [mm] \* \bruch{(x-3)(x+1)}{(x+3)(x-3)} [/mm] = 2 [mm] \* \bruch{x+1}{x+3} [/mm]
richtig?
Die lim von oben oder unten gegen 3 brauch ich nicht mehr, weil ich das schon durch die pq-Formel habe ne?!
Und dann kann ich meinen Graphen auch richtig zeichnen :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schapka!
> Also bei der pq-Formel erhalte ich 3 und -1, das waere dann
> doch:
>
> 2 [mm]\* \bruch{(x-3)(x+1)}{(x+3)(x-3)}[/mm] = 2 [mm]\* \bruch{x+1}{x+3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die lim von oben oder unten gegen 3 brauch ich nicht mehr,
> weil ich das schon durch die pq-Formel habe ne?!
Du darfst nicht vergessen: [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 3$ ist noch immer eine Definitionslücke der Funktion.
Von daher ist schon der entsprechende Grenzwert zu ermitteln.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Schapka |
Der Grenzwert waer dann 2 ,gel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schapka!
Nein, das stimmt nicht. Wie kommst Du darauf?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Schapka |
Hmmm... =(
Hab [mm] 2\* \bruch{x^2-2x-3}{x^2-9} [/mm] durch [mm] x^2 [/mm] genommen
[mm] \bruch{\bruch{-2}{x}\bruch{-3}{x^2}}{\bruch{-9}{x^2}} [/mm] und dafuer laeuft doch alles gegen 0 und somit bleibt die 2 uebrig.
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> Hmmm... =(
>
> Hab [mm]2\* \bruch{x^2-2x-3}{x^2-9}[/mm] durch [mm]x^2[/mm] genommen
>
> [mm]\bruch{\bruch{-2}{x}\bruch{-3}{x^2}}{\bruch{-9}{x^2}}[/mm] und
> dafuer laeuft doch alles gegen 0 und somit bleibt die 2
> uebrig.
wenn du den lim der funktion gegen [mm] \pm \infty [/mm] meinst stimmt das! und y=2 würde dann die asymptote darstellen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Schapka |
:( Okay und dann bleibt bei mir noch die Frage wie ich denn dann fuer [mm] x_0 [/mm] = 3 den Grenzwert richtig ermittel?
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> :( Okay und dann bleibt bei mir noch die Frage wie ich denn
> dann fuer [mm]x_0[/mm] = 3 den Grenzwert richtig ermittel?
entweder die grundfunktion nehmen, dann lim gegen 3 machen, dann feststellen "0/0" -> also l'hopital durchführen, falls schon bekannt, ansonsten den lim mit der funktion gegen 3, wo die hebbaren lücken schon berücksichtigt wurden
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Schapka |
L'Hospital haben wir nicht durchgenommen ergo duerfen wir nicht benutzen.
Koennte jemand so lieb sein und mir die Rechnung fuer den Grenzwert vorgeben, damit ich es dann vielleicht endlich nachvollziehen kann =)?
Bei dem Thema steh ich aufm Schlauch, wie genau soll ich denn " ansonsten den lim mit der funktion gegen 3, wo die hebbaren lücken schon berücksichtigt wurden" benutzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schapka!
> wie genau soll ich denn " ansonsten den lim mit der funktion
> gegen 3, wo die hebbaren lücken schon berücksichtigt wurden"
> benutzen?
Fencheltee meint diese Darstellung nach dem Kürzen:
[mm] $$f^{\star}(x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\bruch{x+1}{x+3}$$
[/mm]
Hier kannst Du nun getrost $x \ = \ 3$ einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Schapka |
Dafuer erhalte ich, wie mein "Ueber-Mathe-Hirn" berechnet hat, dann die [mm] \bruch{4}{3} [/mm] .
Tadaaaa, habs! :D
Danke fuer die vielen Erklaerungen, super Community! Ich denke nach einer kleinen Staerkung à la Chili con Carne selbstgemacht, hab ich noch ein Problemchen mit der Stetigkeit einer Funktion in [mm] x_0 [/mm] = 1 ... Vllt. seht ihr mich bald wieder =)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 Fr 11.09.2009 | | Autor: | fencheltee |
> Bestimmen Sie bei den folgenden Funktionen den maximalen
> Definitionsbereich und alle auftretenden Grenzwerte.
denke mit allen auftretenden grenzwerten sind auch lim gegen [mm] \pm\infty [/mm] gemeint, denn so bekommst du die asymptoten der funktion!
>
>
> b) f(x) = [mm]\bruch {2x^2 + 2x -4}{3x^2 + 15x +18}[/mm]
> Zu dieser
> Aufgabe habe ich schon eine vorgegebende Loesung, leider
> kann ich diese nicht ganz nachvollziehen =/
>
> Loesung:
>
> Es gilt f(x) = [mm]\bruch{2x^2 + 2x -4}{3x^2 + 15x +18}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{3} \* \bruch{(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-3)}[/mm]
> Daher gilt
> [mm]D_f[/mm] = [mm]\IR[/mm] \ [-2 , -3].
> Mit dieser Einschraenkung erhaelt man als f(x) =
> [mm]\bruch{2}{3} \* \bruch{x-1}{x+3}[/mm] und daher
> [mm]\limes_{x\rightarrow\pm\infty}[/mm] f(x) = [mm]\bruch{2}{3}[/mm] .
>
> Sooo und jetzt kommt der Teil bei dem es bei mir hakt.
>
> Ferner ist [mm]\limes_{x\rightarrow -2}[/mm] f(x) = -2 sowie lim
> (von unten gegen -3) f(x) = [mm]\infty[/mm] und lim (von oben
> gegen -3) f(x) = [mm]-\infty[/mm]
>
>
>
> lim (von unten gegen -3) f(x) = [mm]\infty[/mm] und lim (von oben
> gegen -3) f(x) = [mm]-\infty[/mm] erhalte ich doch ganz einfach, in
> dem ich Werte nahe der -3 einsetze oder?! Warum mache ich
> dann bei -2 was anderes?
>
> Koennte mir jemand erklaeren wie man zu diesen Schritten
> kommt und evtl. auch eine Skizze des Graphen der Funktion
> anfertigen, fuers visuelle Verstaendnis?
>
>
> Vielen Dank im Voraus!
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