max.Volumen/Quader < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | | Welches Volumen kann ein Quader maximal haben, wenn seine Raumdiagonale die Länge 1 hat? |
Hallo,
was ich bis jetzt an Information über die Aufgabe habe ist:
die Raumdiagonale d= [mm] \wurzel{a^{2}+ b^{2}+c^{2}}=1
[/mm]
Volumen eines Quaders V= a*b*c
gradV= 0 an der Stelle (a,b,c)=(0,0,0).
die Hessematrix ist :
[mm] \pmat{ 0 & c &b\\ c & 0 &a\\ b & a &0\\ }.
[/mm]
Man sollte für Maximum/Minimum Definitheit der Matrix bestimmen.
Wird diese Information zur Lösung der Aufgabe helfen?
Bzw. wie sollte ich anders die Aufgabe angehen?
MfG
Igor
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Hallo Igor!
Wo geht denn Deine Nebenbedingung mit der Raumdiagonalen in die Rechnung mit ein?
Verwende hier die Methode mit der Lagrange-Funktion.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Roadrunner,
ich bin mir nicht sicher, ob wir schon Langrange-Funktion ( ach ja , als ich bei google nach Langrange-Funktion gesucht habe, stand dort , dass Lagrange-Funktion für physikalische Vorgänge bestimmt ist; für mathematische Analyse gibt es Langrange-Multiplikator (hast Du den gemeint?)) in der Vorlesung gemacht haben. Wenn ich das richtig verstanden, dann muss man dazu auch verstehen, was die impliziete Funktionen sind. Wenn das so ist, bin ich noch nicht so weit mit den Themen.
Ich denke , wenn man ohne Lagrange-Funktion ( oder Lagrange-Multiplikator?) nicht so gut auskommt, dann werde ich mich halt mit dem Thema beschäftigen müßen.
MfG
Igor
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Hallo Igor,
es geht wohl auch ohne Lagrange. Die Zielgrösse
Quadervolumen Q=a*b*c soll unter der Nebenbe-
dingung Körperdiagonale=1 maximiert werden. Die
Nebenbedingung kann man auf die Form [mm] c^2=1-a^2-b^2
[/mm]
bringen. Um sich das Leben noch etwas einfacher
zu machen, kann man als Zielfunktion das Quadrat
von Q nehmen, also
[mm] F(a,b,c)=Q^2=a^2*b^2*c^2
[/mm]
Mittels Nebenbedingung kann man F mit nur
zwei Variablen schreiben und hat dann eine recht
einfache Extremwertaufgabe mit 2 Variablen.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Al-Chwarizmi,
danke Dir für diesen nachvollzierbaren Tipp!
Wenn ich F auf das Maximum prüfen möchte, dann kommt hier die
Hessematrix ins Spiel.
Ich habe diese ausgerechnet:
[mm] \pmat{ 2b^{2}-12a^{2}b^{2}-2b^{4} & 4ab-8a^{3}b^{2}-8ab^{3} \\ 4ab-8a^{3}b^{2}-8ab^{3} & 4a-2a^{4}-12b^{2}a^{2} }
[/mm]
Ich habe zuvor den Gradienten von F bestimmt und daraus abgeleitet, dass es Extrema gibt und zwar für a=b .
Die Hessematrix muss negativ definit für ein striktes lokales Maximum sein .
Prüft man das mit <Hess(F)*v, v> v [mm] \in \IR^{n}? [/mm] (Also , ob das Skalarprodukt < 0 für alle v [mm] \in \IR^{n}\ [/mm] {0} ist?)
Wenn man die Stelle gefunden hat, wo F Maximum annimmt, dann kann man diese Stelle in F einsetzen und das [mm] Q^{2} [/mm] berechnen (also den maximalen Wert von [mm] Q^{2}). [/mm] Wenn ich dann die Wurzel von [mm] Q^{2} [/mm] ziehe kommt Q raus. Die Frage ist , ob die Maximumstelle von [mm] Q^{2} [/mm] auch die Maximumstelle von Q ist .
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Hallo!
> Wenn ich F auf das Maximum prüfen möchte, dann kommt hier
> die
> Hessematrix ins Spiel.
> Ich habe diese ausgerechnet:
> [mm]\pmat{ 2b^{2}-12a^{2}b^{2}-2b^{4} & 4ab-8a^{3}b^{2}-8ab^{3} \\ 4ab-8a^{3}b^{2}-8ab^{3} & 4a-2a^{4}-12b^{2}a^{2} }[/mm]
Sicher hast du dich nur ein bisschen hier mit dem Abschreiben vertan, ich komme auf:
[mm] $Hess(Q^{2}) [/mm] = [mm] \pmat{ 2b^{2}-12a^{2}b^{2}-2b^{4} & 4ab-8a^{3}\blue{b}-8ab^{3} \\ 4ab-8a^{3}\blue{b}-8ab^{3} & \blue{2a^{2}}-2a^{4}-12b^{2}a^{2} }$
[/mm]
> Ich habe zuvor den Gradienten von F bestimmt und daraus
> abgeleitet, dass es Extrema gibt und zwar für a=b .
Es geht sogar genauer: Es muss gelten $a = b = [mm] \bruch{1}{\sqrt{3}}$.
[/mm]
Die beiden Gleichungen, welche mit dem Gradienten entstehen, kann man nämlich folgendermaßen umformen:
[mm] $2ab^{2}-4a^{3}b^{2}-2ab^{4} [/mm] = 0$
[mm] $2a^{2}b-2a^{4}b-4a^{2}b^{3} [/mm] = 0$
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $1-b^{2}-2a^{2} [/mm] = 0$
[mm] $1-a^{2}-2b^{2} [/mm] = 0$
Untere Gleichung mit (-2) multipliziert und Additionsverfahren bringen schließlich
[mm] $-1+3b^{2} [/mm] = 0$.
> Die Hessematrix muss negativ definit für ein striktes
> lokales Maximum sein .
Genau.
> Prüft man das mit <Hess(F)*v, v> v [mm]\in \IR^{n}?[/mm] (Also ,
> ob das Skalarprodukt < 0 für alle v [mm]\in \IR^{n}\[/mm] {0} ist?)
Es gibt sicher auch einfachere Möglichkeiten. Für eine 2x2-Matrix reicht es so zu zeigen, dass oben links im Feld eine negative Zahl steht, die gesamte Determinante aber positiv ist. (Das entnehme ich ![[]](/images/popup.gif) dieser Seite.
> Wenn man die Stelle gefunden hat, wo F Maximum annimmt,
> dann kann man diese Stelle in F einsetzen und das [mm]Q^{2}[/mm]
> berechnen (also den maximalen Wert von [mm]Q^{2}).[/mm] Wenn ich
> dann die Wurzel von [mm]Q^{2}[/mm] ziehe kommt Q raus. Die Frage ist
> , ob die Maximumstelle von [mm]Q^{2}[/mm] auch die Maximumstelle von
> Q ist .
Solange $Q [mm] \ge [/mm] 0$ ist, gilt diese Aussage, und das ist hier auf jeden Fall richtig, weil Q ja ein Volumen beschreibt. Für den eindimensionalen Fall geht das ganz leicht zu zeigen:
Voraussetzung: f(x) hat bei [mm] x_{0} [/mm] lokales Maximum, d.h. [mm] $f'(x_{0}) [/mm] = 0$ und [mm] $f''(x_{0}) [/mm] < 0$, außerdem ist f(x) > 0 [mm] \forall [/mm] x.
Dann ist $f''(x) = [mm] 2*\left(f'(x)^{2} + f(x)*f''(x)\right)$, [/mm] und somit [mm] $f''(x_{0}) [/mm] = [mm] 2*\left(f'(x_{0})^{2} + f(x)*f''(x_{0})\right) [/mm] = [mm] 2*f(x)*f''(x_{0}) [/mm] <0$ wegen den Voraussetzungen 
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Stefan ,
ich möchte [mm] Hess(Q^{2}) [/mm] auf die negative Definitheit prüfen.
Wenn ich so vorgehe, wie Du im letzten posting erwähnt hast, dass der
linke obere Wert von [mm] Hess(Q^{2}) [/mm] negativ sein muss und die gesamte Determinante positiv ist, dann gilt:
[mm] 2b^{2}-12a^{2}b^{2}-2b^{4}=2b^{2}(1-6a^{2}-b^{2}) [/mm] .
Der Ausdruck muss jedoch nicht für alle (a,b) negativ sein. Oder?
MfG
Igor
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> ich möchte [mm]Hess(Q^{2})[/mm] auf die negative Definitheit
> prüfen.
> Wenn ich so vorgehe, wie Du im letzten posting erwähnt
> hast, dass der
> linke obere Wert von [mm]Hess(Q^{2})[/mm] negativ sein muss und
> die gesamte Determinante positiv ist, dann gilt:
>
> [mm]2b^{2}-12a^{2}b^{2}-2b^{4}=2b^{2}(1-6a^{2}-b^{2})[/mm] .
>
> Der Ausdruck muss jedoch nicht für alle (a,b) negativ sein.
> Oder?
Hallo,
in die Hessematrix setzt Du doch die zuvor errechneten kritischen Stellen ein.
Du schaust die Hessematrix für jede der kritischen Stellen einzeln an.
Welche kritischen Stellen hattest Du errechnet?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich bin mir nicht sicher , ob die kritischen Punkte a=b und a=0 oder b=0 sind.
Oder, wie steppenhahn geschrieben hat : [mm] a=b=\bruch{1}{\wurzel{3}}
[/mm]
(und a=0 oder b=0).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Stefan,
Du hast die Lösungsmenge auf a=b= [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] beschränkt.
Ich habe eigentlich so a und b bestimmt:
$0= [mm] 1-b^{2}-2a^{2} [/mm] = $ [mm] 1-a^{2}-2b^{2} [/mm] = 0 => a=b , weil
a und b positiv sind.
Also, für a=b und für a=0 oder b=0 gibt es kritische Punkte.
Ob jetzt alle diese Punkte Maxima sind, prüft man mit der Hessematrix.
Was meinst Du dazu?
MfG
Igor
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Hallo,
ich übernehme mal ungeprüft steppenhahns partielle Ableitungen und zeige Dir, wie man das Gleichungssystem lösen kann:
$ [mm] 2ab^{2}-4a^{3}b^{2}-2ab^{4} [/mm] = 0 $
$ [mm] 2a^{2}b-2a^{4}b-4a^{2}b^{3} [/mm] = 0 $
<==>
[mm] 2ab^2(1-2a^2-b^2)=0
[/mm]
[mm] 2a^2b(1-a^2-2b^2)=0
[/mm]
Da a.b >0 ist dies gleichbedeutend mit
[mm] 1-2a^2-b^2=0
[/mm]
[mm] 1-a^2-2b^2=0
[/mm]
Du machst nun einen Fehler: Du setzt die beiden Gleichungen gleich, schlachtest [mm] 1-b^{2}-2a^{2} = [/mm] [mm]1-a^{2}-2b^{2}[/mm] aus, beachtest aber nicht, daß nach wie vor
[mm] 1-2a^2-b^2=0 [/mm] gelten muß.
> Ich habe eigentlich so a und b bestimmt:
> [mm]0= 1-b^{2}-2a^{2} = [/mm] [mm]1-a^{2}-2b^{2}[/mm] = 0 => a=b , weil
>
> a und b positiv sind.
Nun geht's weiter:
es gilt
[mm] 1-2a^2-b^2=0, [/mm] also ist [mm] 1-2a^2-a^2=0,
[/mm]
und somit [mm] a^2=\bruch{1}{3}.
[/mm]
Weil wir nur positive a betrachten, folgt [mm] a=\wurzel{\bruch{1}{3}}, [/mm] folglich ist auch [mm] b==\wurzel{\bruch{1}{3}}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo ,
max.Volumen= [mm] \bruch{1}{9}
[/mm]
MfG
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Stefan,
danke Dir für die Korrektur und interessante Tipps !
Vielleicht , was ich noch ergänzen möchte, ist, dass für a = 0 oder b=0
auch kritische Punkte existieren.
MfG
Igor
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