max.-Norm und Lagrange < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f(x)=x*sin(\bruch{x}{2}), x\in(0,1] [/mm] und [mm] P_{n} [/mm] die Lagrange-Interpolierende an den Stützstellen [mm] x_{i}=\bruch{1}{x+1}, [/mm] i=0,...,n.
Zeigen sie: [mm] \parallel P_{n}-f\parallel [/mm] = max [mm] |P_{n}(x)-f(x)| \not=> [/mm] 0 (n [mm] \to \infty)
[/mm]
(Maximum von x [mm] \in [/mm] (0,1] |
Hallo,
zunächst einmal, ich habe diese Frage nur hier im MatheRaum gestellt.
Klar ist die Lagrange-Formel: [mm] P_{n}(x)=\summe_{i=1}^{n} f_{i}L_{i}
[/mm]
mit [mm] L_{i}=\produkt_{j=1 \cap j=i}^{n}\bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}.
[/mm]
wenn ich das einsetze steht da
[mm] max|\summe_{i=1}^{n}x_{i}*sin(\bruch{x_{i}}{2})\produkt_{j=1 \cap j=i}^{n}\bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}} [/mm] - [mm] x*sin(\bruch{x}{2})|
[/mm]
(Maximum von x [mm] \in [/mm] (0,1]
ich hoffe bis hierhin bin ich noch richtig.
allerdings weiß ich nicht so rech, wie ich das nun umformen soll.
Für Hilfe wäre ich wirklich sehr dankbar !
Besten Dank !
Gruß Albert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:29 So 12.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f(x)=x*sin(\bruch{x}{2}), x\in(0,1][/mm] und [mm]P_{n}[/mm] die
> Lagrange-Interpolierende an den Stützstellen
> [mm]x_{i}=\bruch{1}{x+1},[/mm] i=0,...,n.
Das sind aber komische Stützstellen. Die sind ja alle gleich !
FRED
>
> Zeigen sie: [mm]\parallel P_{n}-f\parallel[/mm] = max
> [mm]|P_{n}(x)-f(x)| \not=>[/mm] 0 (n [mm]\to \infty)[/mm]
> (Maximum von x [mm]\in[/mm]
> (0,1]
>
> Hallo,
>
> zunächst einmal, ich habe diese Frage nur hier im
> MatheRaum gestellt.
>
> Klar ist die Lagrange-Formel: [mm]P_{n}(x)=\summe_{i=1}^{n} f_{i}L_{i}[/mm]
>
> mit [mm]L_{i}=\produkt_{j=1 \cap j=i}^{n}\bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}.[/mm]
>
> wenn ich das einsetze steht da
>
> [mm]max|\summe_{i=1}^{n}x_{i}*sin(\bruch{x_{i}}{2})\produkt_{j=1 \cap j=i}^{n}\bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}[/mm]
> - [mm]x*sin(\bruch{x}{2})|[/mm]
> (Maximum von x [mm]\in[/mm] (0,1]
>
> ich hoffe bis hierhin bin ich noch richtig.
> allerdings weiß ich nicht so rech, wie ich das nun
> umformen soll.
>
> Für Hilfe wäre ich wirklich sehr dankbar !
> Besten Dank !
>
> Gruß Albert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:06 So 12.06.2011 | | Autor: | MathePower |
Hallo AlbertKeinstein,
> Sei [mm]f(x)=x*sin(\bruch{x}{2}), x\in(0,1][/mm] und [mm]P_{n}[/mm] die
> Lagrange-Interpolierende an den Stützstellen
> [mm]x_{i}=\bruch{1}{x+1},[/mm] i=0,...,n.
Hier hast Du Dich bestimmt verschrieben,
daher können hier Stützstellen der Bauart
[mm]x_{i}=\bruch{1}{\blue{i}+1}, \ i=0,...,n.[/mm]
gemeint sein.
>
> Zeigen sie: [mm]\parallel P_{n}-f\parallel[/mm] = max
> [mm]|P_{n}(x)-f(x)| \not=>[/mm] 0 (n [mm]\to \infty)[/mm]
> (Maximum von x [mm]\in[/mm]
> (0,1]
>
> Hallo,
>
> zunächst einmal, ich habe diese Frage nur hier im
> MatheRaum gestellt.
>
> Klar ist die Lagrange-Formel: [mm]P_{n}(x)=\summe_{i=1}^{n} f_{i}L_{i}[/mm]
>
> mit [mm]L_{i}=\produkt_{j=1 \cap j=i}^{n}\bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}.[/mm]
>
> wenn ich das einsetze steht da
>
> [mm]max|\summe_{i=1}^{n}x_{i}*sin(\bruch{x_{i}}{2})\produkt_{j=1 \cap j=i}^{n}\bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}[/mm]
> - [mm]x*sin(\bruch{x}{2})|[/mm]
> (Maximum von x [mm]\in[/mm] (0,1]
>
> ich hoffe bis hierhin bin ich noch richtig.
> allerdings weiß ich nicht so rech, wie ich das nun
> umformen soll.
>
> Für Hilfe wäre ich wirklich sehr dankbar !
> Besten Dank !
>
> Gruß Albert
Gruss
MathePower
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> Hallo AlbertKeinstein,
>
>
> > Sei [mm]f(x)=x*sin(\bruch{x}{2}), x\in(0,1][/mm] und [mm]P_{n}[/mm] die
> > Lagrange-Interpolierende an den Stützstellen
> > [mm]x_{i}=\bruch{1}{x+1},[/mm] i=0,...,n.
>
>
> Hier hast Du Dich bestimmt verschrieben,
> daher können hier Stützstellen der Bauart
>
> [mm]x_{i}=\bruch{1}{\blue{i}+1}, \ i=0,...,n.[/mm]
>
> gemeint sein.
>
oh natürlich sollte es so lauten !
allerdings bringt mich das jetzt nicht viel weiter ;)
>
> >
> > Zeigen sie: [mm]\parallel P_{n}-f\parallel[/mm] = max
> > [mm]|P_{n}(x)-f(x)| \not=>[/mm] 0 (n [mm]\to \infty)[/mm]
> > (Maximum von
> x [mm]\in[/mm]
> > (0,1]
> >
> > Hallo,
> >
> > zunächst einmal, ich habe diese Frage nur hier im
> > MatheRaum gestellt.
> >
> > Klar ist die Lagrange-Formel: [mm]P_{n}(x)=\summe_{i=1}^{n} f_{i}L_{i}[/mm]
>
> >
> > mit [mm]L_{i}=\produkt_{j=1 \cap j=i}^{n}\bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}.[/mm]
>
> >
> > wenn ich das einsetze steht da
> >
> >
> [mm]max|\summe_{i=1}^{n}x_{i}*sin(\bruch{x_{i}}{2})\produkt_{j=1 \cap j=i}^{n}\bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}[/mm]
> > - [mm]x*sin(\bruch{x}{2})|[/mm]
> > (Maximum von x [mm]\in[/mm] (0,1]
> >
> > ich hoffe bis hierhin bin ich noch richtig.
> > allerdings weiß ich nicht so rech, wie ich das nun
> > umformen soll.
> >
> > Für Hilfe wäre ich wirklich sehr dankbar !
> > Besten Dank !
> >
> > Gruß Albert
>
>
> Gruss
> MathePower
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> > Hallo AlbertKeinstein,
> >
> >
> > > Sei [mm]f(x)=x*sin(\bruch{x}{2}), x\in(0,1][/mm] und [mm]P_{n}[/mm] die
> > > Lagrange-Interpolierende an den Stützstellen
> > > [mm]x_{i}=\bruch{1}{x+1},[/mm] i=0,...,n.
> >
> >
> > Hier hast Du Dich bestimmt verschrieben,
> > daher können hier Stützstellen der Bauart
> >
> > [mm]x_{i}=\bruch{1}{\blue{i}+1}, \ i=0,...,n.[/mm]
> >
> > gemeint sein.
> >
>
> oh natürlich sollte es so lauten !
> allerdings bringt mich das jetzt nicht viel weiter ;)
>
> >
> > >
> > > Zeigen sie: [mm]\parallel P_{n}-f\parallel[/mm] = max
> > > [mm]|P_{n}(x)-f(x)| \not=>[/mm] 0 (n [mm]\to \infty)[/mm]
> > > (Maximum
> von
> > x [mm]\in[/mm]
> > > (0,1]
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > zunächst einmal, ich habe diese Frage nur hier im
> > > MatheRaum gestellt.
> > >
> > > Klar ist die Lagrange-Formel: [mm]P_{n}(x)=\summe_{i=1}^{n} f_{i}L_{i}[/mm]
>
> >
> > >
> > > mit [mm]L_{i}=\produkt_{j=1 \cap j=i}^{n}\bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}.[/mm]
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> > >
> > > wenn ich das einsetze steht da
> > >
> > >
> >
> [mm]max|\summe_{i=1}^{n}x_{i}*sin(\bruch{x_{i}}{2})\produkt_{j=1 \cap j=i}^{n}\bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}[/mm]
> > > - [mm]x*sin(\bruch{x}{2})|[/mm]
> > > (Maximum von x [mm]\in[/mm] (0,1]
> > >
> > > ich hoffe bis hierhin bin ich noch richtig.
> > > allerdings weiß ich nicht so rech, wie ich das nun
> > > umformen soll.
> > >
> > > Für Hilfe wäre ich wirklich sehr dankbar !
> > > Besten Dank !
> > >
> > > Gruß Albert
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
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kann mir keiner weiterhelfen ?
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habe mich nochmals dran versucht:
[mm] x_{i}=\bruch{1}{i+1} [/mm] i=0,...,n
[mm] f(x)=x*sin(\bruch{\pi}{x})
[/mm]
wenn man nun [mm] f(x_{i}) [/mm] ausrechnet steht dort:
[mm] f(x_{i})=\bruch{1}{i+1} [/mm] * [mm] sin(\bruch{\pi}{i+1})
[/mm]
allerdings weiß ich nicht wie ich weiter machen soll ?
sofern das hier stimmt ?
es müssten ja n+1 Stützstelle sein und das Polynom [mm] P_{n} [/mm] hat den Grad n
Kann mir jmd weiterhelfen ?
Gruß
Albert
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Mi 15.06.2011 | | Autor: | sangham |
Hallo Albert, ich versuche mich mal. Habe aber eine Verständnisfrage..
> Sei [mm]f(x)=x*sin(\bruch{x}{2}), x\in(0,1][/mm] und [mm]P_{n}[/mm] die
> Lagrange-Interpolierende an den Stützstellen
> [mm]x_{i}=\bruch{1}{i+1},[/mm] i=0,...,n.
>
> Zeigen sie: [mm]\parallel P_{n}-f\parallel[/mm] = max
> [mm]|P_{n}(x)-f(x)| \not=>[/mm] 0 (n [mm]\to \infty)[/mm]
> (Maximum von x [mm]\in[/mm]
> (0,1]
>
> Hallo,
>
> zunächst einmal, ich habe diese Frage nur hier im
> MatheRaum gestellt.
>
> Klar ist die Lagrange-Formel: [mm]P_{n}(x)=\summe_{i=1}^{n} f_{i}L_{i}[/mm]
>
> mit [mm]L_{i}=\produkt_{j=1 \cap j=i}^{n}\bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}.[/mm]
ok, hier die Frage: Ich vermute dort oben steht [mm] L_i(x), [/mm] ja?
und für [mm] f_i [/mm] hast du [mm] f(x_i) [/mm] eingesetzt, ja?
Nun, wie ich das sehe, müsste [mm] L_i(x_i) [/mm] = 1 gelten. Ausserdem müsste es nach dem Schnitt i [mm] \not= [/mm] j heissen, sonst wäre der Ausdruck nicht definiert...
EDIT: Rest wegen Unbrauchbarkeit und Fehler gestrichen...
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> Hallo Albert, ich versuche mich mal. Habe aber eine
> Verständnisfrage..
>
> > Sei [mm]f(x)=x*sin(\bruch{x}{2}), x\in(0,1][/mm] und [mm]P_{n}[/mm] die
> > Lagrange-Interpolierende an den Stützstellen
> > [mm]x_{i}=\bruch{1}{i+1},[/mm] i=0,...,n.
> >
> > Zeigen sie: [mm]\parallel P_{n}-f\parallel[/mm] = max
> > [mm]|P_{n}(x)-f(x)| \not=>[/mm] 0 (n [mm]\to \infty)[/mm]
> > (Maximum von
> x [mm]\in[/mm]
> > (0,1]
> >
> > Hallo,
> >
> > zunächst einmal, ich habe diese Frage nur hier im
> > MatheRaum gestellt.
> >
> > Klar ist die Lagrange-Formel: [mm]P_{n}(x)=\summe_{i=1}^{n} f_{i}L_{i}[/mm]
>
> >
> > mit [mm]L_{i}=\produkt_{j=1 \cap j=i}^{n}\bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}.[/mm]
>
> ok, hier die Frage: Ich vermute dort oben steht [mm]L_i(x),[/mm]
> ja?
das soll einfach die normale Formel für die Lagrange-Interpolation sein.
> und für [mm]f_i[/mm] hast du [mm]f(x_i)[/mm] eingesetzt, ja?
>
hier wollte ich nur die Funktionswerte der Stützstellen ausrechnen
also [mm] f(x_{i})
[/mm]
> Nun, wie ich das sehe, müsste [mm]L_i(x_i)[/mm] = 1 gelten.
> Ausserdem müsste es nach dem Schnitt i [mm]\not=[/mm] j heissen,
> sonst wäre der Ausdruck nicht definiert...
je so das halt i niemals gleich j ist.
Stimmt wenn ich [mm] L(x_{i}) [/mm] betrachte ist das gerade 1.
>
> ok, dann hätten wir
>
>
>
> [mm]max|\summe_{j=1}^{n}\bruch{1}{j+1}*sin(\bruch{1}{2(j+1)}) - \bruch{1}{i+1}*sin(\bruch{1}{2(i+1)})|[/mm]
> , (Maximum über i)
>
> wenn alle Ausdrücke positv werden, würde das Maximum
> angenommen, wenn der rechte Ausdruck minimal ist, also das
> i für das
> [mm]\bruch{1}{i+1}*sin(\bruch{1}{2(i+1)})[/mm] am kleinsten ist.
>
> Aber was auch immer es ist, es wird 1 Summand links
> abgezogen. Also lässt sich der Ausdruck nach unten
> abschätzen durch
>
> [mm]|\summe_{j=1}^{n}\bruch{1}{j+1}*sin(\bruch{1}{2(j+1)})|[/mm]
>
> >= [mm]\summe_{j=1}^{n}\bruch{1}{j+1}[/mm] =
> [mm]\summe_{j=0}^{n}\bruch{1}{j}[/mm]
>
irgendwie haben wir als Tipp noch den Hauptsatz der Linearen Algebra bekommen.
Was mir das allerdings hier sagen soll, weiß ich nicht.
>
> EDIT: Nein, dieses Argument ist falsch, es gilt <= weil
> |sin(x)| <=1 ist....
> Mist, aber vielleicht kommst du damit irgendwie
> weiter....
>
> und das ist im Limes die harmonische Reihe, also
> divergent.
>
> Das wäre meine Idee dazu, verbürgen will ich mich hier
> aber nicht.... LG
> LG
generell zeigen muss ich ja das das Maximum nicht gege 0 geht,
also gegen irgendeine Zahl oder gegen unendlich.
Vielleicht kann mir ja sost wer helfen,
hierran verzweifel ich grade.
Besten Dank
Albert
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Ich habe mich nochmals mit der Aufgabe beschäftigt und will aufgrund der schlechten Schreibweise oben nochmals alles auflisten:
zunächst sei die Funktion [mm] f(x)=x*sin(\bruch{\pi}{x}) [/mm]
[mm] P_{n} [/mm] sei die Lagrange-Interpolierende an den Stützstellen [mm] x_{i}=\bruch{1}{i+1} [/mm] i=0,...,n
Das Lagrange-Polynom ist wie folgt definiert:
[mm] P_{n}(x)=\summe_{i=1}^{n} f_{i}L_{i}
[/mm]
wobei [mm] f_{i}=f(x_{i}) [/mm] und [mm] L_{i}=\produkt_{j=1 \cap j\not=i}^{n}\bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}
[/mm]
wenn man nun zunächst einmal die Funktionswerte an den Stützstellen [mm] x_{i} [/mm] berechnet folgt:
[mm] f_{i}=\bruch{1}{i+1}*sin(\bruch{\pi}{\bruch{1}{i+1}})=\bruch{1}{i+1}*sin((i+1)*\pi) [/mm]
aber der Sinus ist ja an ganzzahligen Vielfachen von [mm] \pi [/mm] = 0
zeigen soll man ja:
$ [mm] \parallel P_{n}-f\parallel [/mm] $ = max $ [mm] |P_{n}(x)-f(x)| \not=> [/mm] $ 0 (n $ [mm] \to \infty) [/mm] $
(Maximum von x $ [mm] \in [/mm] $ (0,1]
nun weiß ich nicht weiter ?
als Tipp habe ich noch von dem Dozenten gesagt bekommen,
dass man den Hauptsatz der Linearen Algebra verwenden soll
und das [mm] P_{n} [/mm] den Grad n hat
und [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel _{\infty} [/mm] = sup|f(x)|
Tut mir leid, dass ich dies so oft poste, hoffe nur, dass es so evtl übersichtlicher ist!
Gruß
Albert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 Mi 15.06.2011 | | Autor: | sangham |
> Ich habe mich nochmals mit der Aufgabe beschäftigt und
> will aufgrund der schlechten Schreibweise oben nochmals
> alles auflisten:
>
> zunächst sei die Funktion [mm]f(x)=x*sin(\bruch{\pi}{x})[/mm]
> [mm]P_{n}[/mm] sei die Lagrange-Interpolierende an den Stützstellen
> [mm]x_{i}=\bruch{1}{i+1}[/mm] i=0,...,n
Hey, das ist jetzt schon die 3. verschiedene Definition von f... bist du ganz sicher, dass dies nun die richtige ist?
> Das Lagrange-Polynom ist wie folgt definiert:
> [mm]P_{n}(x)=\summe_{i=1}^{n} f_{i}L_{i}[/mm]
> wobei [mm]f_{i}=f(x_{i})[/mm]
> und [mm]L_{i}=\produkt_{j=1 \cap j\not=i}^{n}\bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}[/mm]
>
>
> wenn man nun zunächst einmal die Funktionswerte an den
> Stützstellen [mm]x_{i}[/mm] berechnet folgt:
>
> [mm]f_{i}=\bruch{1}{i+1}*sin(\bruch{\pi}{\bruch{1}{i+1}})=\bruch{1}{i+1}*sin((i+1)*\pi)[/mm]
>
> aber der Sinus ist ja an ganzzahligen Vielfachen von [mm]\pi[/mm] =
> 0
>
Ja, dann würde f an den Stützstellen immer verschwinden. In einer früheren Version von f war da noch ein [mm] \bruch{1}{2} [/mm] im sinus, dann wäre f an den Stützstellen +/-1...
> zeigen soll man ja:
> [mm]\parallel P_{n}-f\parallel[/mm] = max [mm]|P_{n}(x)-f(x)| \not=>[/mm] 0
> (n [mm]\to \infty)[/mm]
> (Maximum von x [mm]\in[/mm] (0,1]
>
>
>
> nun weiß ich nicht weiter ?
> als Tipp habe ich noch von dem Dozenten gesagt bekommen,
> dass man den Hauptsatz der Linearen Algebra verwenden
> soll
> und das [mm]P_{n}[/mm] den Grad n hat
> und [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel _{\infty}[/mm] = sup|f(x)|
ähm, mal ganz blöd: Hauptsatz der Algebra = ein Polynom vom Grad n hat höchstens n verschiedene Nullstellen. Richtig? Gott, ist das lange her....
Nicht verzweifeln, Mathematik ist einfach - es dauert nur unglaublich lange, bis man erkennt, dass es so ist.
Gruss, sangham
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ganz sicher das das da alles so stimmt !!!
das mit dem einfach sei mal so hingestellt :D
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:59 Do 16.06.2011 | | Autor: | sangham |
> ganz sicher das das da alles so stimmt !!!
>
> das mit dem einfach sei mal so hingestellt :D
hmm :D
aber dann wäre [mm] f_i [/mm] = 0 für alle i und damit auch [mm] P_n [/mm] = 0 für alle x
dann wäre [mm]max|P_n - f| = max|f|[/mm] für alle n
und das ist größer Null. Nun dann wäre die Aufgabe gelöst, aber alle Hinweise bezüglich [mm] P_n [/mm] überflüssig oder zur Verwirrung erdacht...
ps: ein Wort zur Verzweiflung - es empfiehlt sich wirklich der Bibliothek einen Besuch abzustatten und die Lehrbücher dort nach aktuellem Vorlesungsstoff zu durchforsten. In der Regel findet man dort alle Aufgaben und Beweise oder ein paar erhellende Hinweise. In diesem Fall Lagrange-Approximation; es wird sicher das ein oder andere Bsp. angegeben, dass der Fehler nicht unbedingt im Limes verschwinden muss - und die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei einem Bsp. um genau deine Funktion handelt, ist ziemlich groß....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Fr 17.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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