matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Di 13.05.2008 | | Autor: | lenz |
| Aufgabe | wir untersuchen den ring [mm] M(2\times 2,\IF_{2}) [/mm] von [mm] 2\times [/mm] 2-matrizen mit einträgen im körper [mm] \IF_{2} [/mm]
a)geben sie alle invertierbaren matrizen an
b)ist die gruppe [mm] GL(2,\IF_{2}) [/mm] isomorph zueiner symmetrischen gruppe [mm] S_{n}?
[/mm]
c)geben sie die ähnlichkeitsklassen invertierbarer matrizen an
d)geben sie die ähnlichkeitsklassen nicht-invertierbarer matrizen an
|
hallo
ich komm schon bei a ins schleudern.ich dachte eigentlich quadratische matrizen mit vollem rang
sind invertierbar.ich kann aber keine inverse zu beispielsweise [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] finden,
welches von beidem ist falsch?
gruß lenz
|
|
| |
|
> wir untersuchen den ring [mm]M(2\times 2,\iF_{2})[/mm] von [mm]2\times[/mm]
> 2-matrizen mit einträgen im körper [mm]\iF_{2}[/mm]
> a)geben sie alle invertierbaren matrizen an
> b)ist die gruppe [mm]GL(2,\iF_{2})[/mm] isomorph zueiner
> symmetrischen gruppe [mm]S_{n}?[/mm]
> c)geben sie die ähnlichkeitsklassen invertierbarer
> matrizen an
> d)geben sie die ähnlichkeitsklassen nicht-invertierbarer
> matrizen an
>
> hallo
> ich komm schon bei a ins schleudern.ich dachte eigentlich
> quadratische matrizen mit vollem rang
> sind invertierbar.
Hallo,
das stimmt.
> ich kann aber keine inverse zu
> beispielsweise [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] finden,
Man kann sie berechnen.
Bringe
[mm] \pmat{ 1 & 1& | 1&0 \\ 0 & 1& | 0&1 } [/mm] durch Zeilenumformungen auf
[mm] \pmat{ 1 & 0& | \*&\*\\ 0 & 1& | \*&\* }.
[/mm]
Rechts steht dann die inverse Matrix.
Gruß v. Angela
> welches von beidem ist falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Di 13.05.2008 | | Autor: | lenz |
hallo
danke schonmal für die antwort.
hab jetzt als inverses zu [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] : [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
jetzt ist mein problem das in der symmetrischen gruppe die elemente selbstinvers sind wenn ich mich nicht irre.damit wäre es aber kein isomorphismus mehr,wovon ich wegen der fragestellung
ausgehe.
als verknüpfung der matrizen muss ich ja die multiplikation nehmen,da sonst die nullmatrix noch dazu käme womit es auch kein isomorphismus mehr wäre.
welche meiner annahmen sind falsch?
gruß lenz
|
|
|
| |
|
> hallo
> danke schonmal für die antwort.
> hab jetzt als inverses zu [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] : [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
Hallo,
wieviele invertierbare Matrizen hast Du denn insgesamt gefunden?
>
> jetzt ist mein problem das in der symmetrischen gruppe die
> elemente selbstinvers sind wenn ich mich nicht irre.
Da irrst Du Dich.
Es ist doch z.B.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4&1} \in S_4 [/mm]
nicht selbstinvers.
Welche Ordnung hat eigentlich [mm] S_n?
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Mi 14.05.2008 | | Autor: | lenz |
hallo
ich hab sechs invertierbare matrizen gefunden.(zuwenig?)
damit sollte es isomorph zu [mm] S_{3} [/mm] sein.schätze [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }
[/mm]
ist trotzdem nicht selbst invers.meine frage ist ob ich noch zeigen muss
das es ein isomorphismus ist,und winn ja wie.reicht es zu sagen das das neutrale element
auf das neutrale element abgebildet wird und da es mengen mit der gleichen anzahl an elementen sind bijektiv abgebildet werden kann?
gruß lenz
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:21 Do 15.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo lenz
> ich hab sechs invertierbare matrizen gefunden.(zuwenig?)
Nein.
> damit sollte es isomorph zu [mm]S_{3}[/mm] sein.
Ja, wenn es zu einem [mm] $S_n$ [/mm] isomorph ist, dann zu [mm] $S_3$. [/mm] Wie es jetzt weiter geht haengt davon ab wieviel du ueber Gruppen der Ordnung 6 weisst... (Wenn du weisst das es nur zwei gibt, dann musst du nur zeigen dass [mm] $GL_2(\F_2)$ [/mm] nicht kommutativ ist. Ansonsten musst du einen Isomorphismus angeben und das explizit nachrechnen.)
> schätze [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }[/mm]
Was schaetzt du damit?
> ist trotzdem nicht selbst invers.meine frage ist ob ich
> noch zeigen muss
> das es ein isomorphismus ist,und winn ja wie.reicht es zu
> sagen das das neutrale element
> auf das neutrale element abgebildet wird und da es mengen
> mit der gleichen anzahl an elementen sind bijektiv
> abgebildet werden kann?
Nein. Du kannst auch eine Abbildung von [mm] $\IZ_6$ [/mm] nach [mm] $S_3$ [/mm] finden, die bijektiv ist und das neutrale auf das neutrale Element abbildet. Aber isomorph sind die damit noch lange nicht.
Es wuerd uebrigens etwas helfen deine Fragen zu beantworten wenn du dir beim Schreiben etwas mehr Muehe geben wuerdest.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:15 Do 15.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo lenz
> Es wuerd uebrigens etwas helfen deine Fragen zu beantworten
> wenn du dir beim Schreiben etwas mehr Muehe geben
> wuerdest.
Das bezog sich jetzt hauptsaechlich auf die Frage auf die ich geantwortet hab, nicht auf deine anderen Fragen :) (Gerade wenn man etwas muede ist ist das dann besonders anstrengend zu lesen...)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Do 15.05.2008 | | Autor: | lenz |
hallo
Danke für die Antwort.
Wenn ich zeige das [mm] GL(2,\IF_{2}) [/mm] kommutativ ist ,habe ich gezeigt das es nicht
isomorph zu [mm] S_{3} [/mm] sein kann,da [mm] S_{3} [/mm] nicht kommutativ ist.Ansonsten müßte ich für alle
Verknüpfungen von Elementen der beiden Gruppen einzelnd zeigen das sie isomorph sind
(hoffe das ist verständlich),hab ich das richtig verstanden?
Zu c und d noch 'ne Frage,kann es sein das sämtliche Matrizen aus [mm] GL(2,\IF_{2}) [/mm] ihre eigene
Ähnlichkeitsklasse bilden?
gruß lenz
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Do 15.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Wenn ich zeige das [mm]GL(2,\IF_{2})[/mm] kommutativ ist ,habe ich
> gezeigt das es nicht
> isomorph zu [mm]S_{3}[/mm] sein kann,da [mm]S_{3}[/mm] nicht kommutativ
> ist.
ja, wenn du alle gruppen der ordnung $6$ kennst, kannst du das an dieser eigenschaft festmachen: die eine ist eben kommutativ, die andere nicht.
aber berechne doch mal die produkte $AB$ und $BA$ mit $A = [mm] \pmat{1 & 1 \\ 0 & 1}$ [/mm] und $B = [mm] \pmat{0 & 1 \\ 1 & 0}$ [/mm] in [mm] $\textrm{GL}(2, \mathbb{F}_2)$ [/mm] erhälst du in beiden fällen das selbe? kann die gruppe dann kommutativ sein?
> Ansonsten müßte ich für alle
> Verknüpfungen von Elementen der beiden Gruppen einzelnd
> zeigen das sie isomorph sind
> (hoffe das ist verständlich),hab ich das richtig
> verstanden?
du müsstest zuerst eine abbildung [mm] $\varphi: \textrm{GL}(2, \mathbb{F}_2) \longrightarrow S_3$ [/mm] definieren und dann zeigen, dass diese abbildung bijektiv ist und dass [mm] $\varphi(AB) [/mm] = [mm] \varphi(A)\varphi(B)$ [/mm] gilt. damit hättest du dann gezeigt, dass die gruppen isomorph sind.
wenn dir operationen auf gruppen bekannt sind, kannst du zeigen, dass [mm] $\textrm{GL}(2, \mathbb{F}_2)$ [/mm] auf [mm] $\mathbb{F}_2^2 \setminus \{0\}$ [/mm] treu operiert und hättest damit eine einbettung in die [mm] $S_3$, [/mm] wenn dir gruppenoperationen unbekannt sind, vergiss den hinweis ganz schnell wieder, der verwirrt dann vermutlich nur.
> Zu c und d noch 'ne Frage,kann es sein das sämtliche
> Matrizen aus [mm]GL(2,\IF_{2})[/mm] ihre eigene
> Ähnlichkeitsklasse bilden?
nein.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:45 Fr 16.05.2008 | | Autor: | lenz |
danke wiedermal für die Antwort
nochmal zu den Ähnlichkeitsklassen.
zwei Matrizen A,B liegen in einer Ähnlichkeitsklasse wenn es eine invertierbare Matrix S gibt so dass gilt [mm] S*A*S^{-1}=B,ist [/mm] das richtig soweit?
hab so an zwei drei beispielen ausprobiert und bin zudem ergebnis gekommen das sie immer auf sich selbst abgebildet werden,ist das Zufall;oder lieg hier einfach falsch mit der Annahme dass das
was damit zutun haben könnte,bzw was müßte ich sonst zeigen oder wie könnte ich die
Ähnlichkeitsklasse bestimmen?
gruß lenz
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:55 Fr 16.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> danke wiedermal für die Antwort
> nochmal zu den Ähnlichkeitsklassen.
> zwei Matrizen A,B liegen in einer Ähnlichkeitsklasse wenn
> es eine invertierbare Matrix S gibt so dass gilt
> [mm]S*A*S^{-1}=B[/mm],ist das richtig soweit?
das kannst nur du beantworten, wie das in eurer vorlesung definiert wurde, aber in der regel sieht die definition so aus.
> hab so an zwei drei beispielen ausprobiert und bin zudem
> ergebnis gekommen das sie immer auf sich selbst abgebildet
> werden,ist das Zufall;oder lieg hier einfach falsch mit der
> Annahme dass das
> was damit zutun haben könnte,bzw was müßte ich sonst
> zeigen oder wie könnte ich die
> Ähnlichkeitsklasse bestimmen?
berechne doch mal (mit den bezeichnungen aus meiner letzten antwort) [mm] $B^{-1}AB$. [/mm] ergibt dies wieder $A$?
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Fr 16.05.2008 | | Autor: | lenz |
hallo
danke immer wieder
hab leider nicht verstanden was du mit "Bezeichnungen aus deiner letzten Antwort" meinst.
bin jezt zu dem Ergebnis gekommen daß die invertierbaren Matrizen
mit ihrer Inversen eine Klasse bilden,richtig?
sorry seh grad das ich mich verrechnet habe.
vielleicht mal ein beispiel:
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }*\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }*\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
finde keine die nicht auf sich selbst abgebildet wird,zumindest bei den Inversen
bei den nicht-inversen hab ich jetzt noch nicht alle durchprobiert.
ist mein Ansatz denn zumindest richtig?
sorr nochmal hab mich wieder verrechnet
jetzt hab ich's:
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }*\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }*\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
dann war mein erster ansatz doch nicht so schlecht.
naja werd wohl alles einmal durchrechnen müssen
gruß lenz
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Sa 17.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> danke immer wieder
> hab leider nicht verstanden was du mit "Bezeichnungen aus
> deiner letzten Antwort" meinst.
die von mir davor gegeben antwort (17:48 Do 15.05.2008).
> bin jezt zu dem Ergebnis gekommen daß die invertierbaren
> Matrizen
> mit ihrer Inversen eine Klasse bilden,richtig?
nein, zumindest eine der klassen ist größer. bei den invertierbaren solltest du drei klassen erhalten:
eine klasse mit elementen der ordnung $1$, also nur der einheitsmatrix,
eine klasse mit allen ($3$) elementen der ordnung $2$,
eine klasse mit allen ($2$) elementen der ordnung $3$.
um zu zeigen, dass die matrizen [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] in der selben klasse liegen musst du eben konkrete matrizen $S$ angeben, so dass [mm] $A_2 [/mm] = [mm] S^{-1}A_1S$ [/mm] (nutze dabei die transitivität und symmetrie der relation). um zu zeigen, dass die klassen nicht zusammenfallen kannst du zeigen, dass elemente der geleichen klasse jeweils gleiche ordnung haben.
> jetzt hab ich's:
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }*\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }*\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
ja, das passt.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Sa 17.05.2008 | | Autor: | lenz |
hallo
danke nochmal
bin hier grad wild am rumrechnen
und irgendwie zu dem Ergebnis gekommen dass
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 }°\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 }(gemeint [/mm] sind permutationen)
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 } [/mm] ist.Ist das richtig?
(oder ist es [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 })
[/mm]
falls ja sind ja alle elemente in [mm] S_{3} [/mm] selbstinvers damit könnte es ja nicht mehr
isomorph zu [mm] GL(2,\IF_{2}) [/mm] sein.
das verwirrt mich grad etwas
gruß lenz
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Sa 17.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> bin hier grad wild am rumrechnen
> und irgendwie zu dem Ergebnis gekommen dass
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 }°\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 }(gemeint[/mm]
> sind permutationen)
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 }[/mm] ist.Ist das richtig?
nein, hast du nun ja auch selber herausgefunden. es ist ja auch nicht so schwer solche rechnungen nochmals zu kontrollieren, wenn ein unerwartetes ergebnis raukommt, es kommt ja immer mal vor, dass man sich verrechnet.
> (oder ist es [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 })[/mm]
> falls ja
> sind ja alle elemente in [mm]S_{3}[/mm] selbstinvers
dem ist nun ja nicht so.
> damit könnte es
> ja nicht mehr
> isomorph zu [mm]GL(2,\IF_{2})[/mm] sein.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 Sa 17.05.2008 | | Autor: | lenz |
ja,richtig
poste manchmal zu schnell
naja,danke nochmal viemals
gruß lenz
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 So 25.05.2008 | | Autor: | briddi |
ich kann mit dem begriff ordnung nichts anfangen,haben wir nicht definiert, aber ich rechne auch schon die ganze zeit herum,mein problem ist nur,dass ich ergebnisse bekommen,die für mich keinen sinn ergeben. wir haben gelernt,dass ähnliche matrizen dasselbe charakteristische polynom haben, also habe ich diese polynome gebiltet und dann bei den matrizen die dasselbe hatten angefangen zu rechnen.
dabei bin ich zb aber über die beiden matrizen [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] und [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm] gestolpert,die haben nicht dasselbe charakteristische polynom [mm] (X^2 \not=(X-1)^2-1= X^2 [/mm] -1-1= [mm] X^2-2),aber [/mm] ich finde matrizen,sodass gilt
[mm] \pmat{ 1 & 1\\ 1 & 0 } \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } \pmat{ 1 & 1\\ 1 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
sind die jetzt ähnlich oder nicht? falls ja warum ist dann das charakteristische polynom nicht gleich?
|
|
|
| |
|
> ich kann mit dem begriff ordnung
Hallo,
Gruppenordnung: Anzahl der Elemente einer Gruppe
Ordnung eines Elementes: wie oft muß man das Element mindestens mit sich selbst verknüpfen, um das neutrale zu erhalten.
> wir haben gelernt,dass
> ähnliche matrizen dasselbe charakteristische polynom haben,
> also habe ich diese polynome gebiltet und dann bei den
> matrizen die dasselbe hatten angefangen zu rechnen.
> dabei bin ich zb aber über die beiden matrizen [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
> und [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm] gestolpert,die haben nicht
> dasselbe charakteristische polynom [mm](X^2 \not=(X-1)^2-1= X^2[/mm]
> -1-1= [mm][mm] X^2-2),
[/mm]
Bedenke, daß Du Dich gerade im [mm] \IF_2 [/mm] bewegst, wo 2=0 ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Mo 26.05.2008 | | Autor: | briddi |
ja danke,das ist mir heute auch aufgefallen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 So 25.05.2008 | | Autor: | xMariex |
Hi,
ich hätte da auch noch einpaar Fragen. Wie komme ich darauf das
[mm]S_3=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }[/mm] sein muss?
Und ich glaub das Ding ist gar nicht isomorph, aber beweisen kann ich das nicht.
Grüße,
Marie
|
|
|
| |
|
Hey!
[mm]
\pmat { 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 } ° \pmat { 1& 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1}
Also bei einer Hintereinanderausführung dieser Verknüpfung wendest du erst die rechte und dann die linke Seite an.
Das heißt du schaust zuerst worauf die 1 abgebildet wird, nun rechts auf die 2 jetzt schaust du links worauf die 2 abgebildet wird nun auf die 3, damit wird insgesamt die 1 auf die 3 abgebildet.
Jetzt schaust du dier die zweite Spalte an, da wird rechts die 2 auf die 3 abgebildet und die 3 wird dann links auf die 1 abgebildet also insgesamt 2 auf 1. usw.
Damit ergibt sich folgendes Ergebnis:
\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 } [/mm]
Meiner Meinung nach ist die Abbbildung schon isomorph. Wie schon oben gesagt musst du ja nur zeigen dass sie bijektiv ist und ein Homomorphismus, also abgeschlossenheit innerhalb der Gruppe vorliegt.
Die Bijektivität kannst du zeigen indem du jedem Element aus Gl ein Element aus [mm] S_3 [/mm] zuordnest und die Homomorphie geht gut mit einer Verknüpfungstafel. Für Gl mit Multiplizieren und für [mm] S_3 [/mm] mit Verknüpfung. Denn :
[mm] \phi(a [/mm] ° b) = [mm] \phi [/mm] (a) ° [mm] \phi [/mm] (b)
ist ja genau die Homomorphie Bedingung.
Liebe Grüße Wiebke
|
|
|
|
