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hallo
also ich hab probleme eine inverse matrix (A hoch -1) auszurechnen.
Eine lösung wäre doch der gauß-algorithmus, doch das versteh ich nicht so richtig, könnte mir jemand dies erklären ?
Oder gibt es eine andere einfachere Lösung ?
danke
gruß thomas
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Hallo!
Am besten wär's gewesen, du hättest direkt eine Matrix mitgeliefert, dann hätte ich dir daran den Gauß-Algorithmus vorrechnen können. So versuche ich es erst einmal allgemein.
Prinzip ist, dass du deine Gleichungen so umformen möchtest, dass deine Matrix (obere) Dreiecksform hat, also z. B.:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
Dann kannst du nämlich von unten nach oben deine Variablen ausrechnen. Ist das so weit klar?
Und um deine Matrix auf diese Form zu bringen, machst du Zeilen- und Spaltenumformungen, was das ist, weißt du wahrscheinlich, oder? (Das heißt, ich glaube, beim Gauß-Algorithmus nimmt man nur Zeilenumformungen, da man sonst auch die Variablen etwas umständlich verändern müsste.)
Jedenfalls bringst du im ersten Schritt eine 0 an die erste Stelle deiner Zeilen, nur nicht in der ersten Zeilen. Das machst du, indem du Vielfache (positive oder negative) der ersten Zeile von den anderen Zeilen subtrahierst, so dass an der ersten Stelle genau eine 0 steht. Im zweiten Schritt bringst du dann an die zweite Stelle eine 0, natürlich nicht in der ersten Zeile, die bleibt bis zum Ende so bestehen (in der Dreiecksform ist ja auch die erste Zeile voll gefüllt), und auch nicht in der zweiten Zeile, da ist ja schon die erste Stelle 0 und diese Zeile bleibt jetzt bis zum Ende auch so. Die 0 bekommst du genauso dorthin, wie im ersten Schritt, nur subtrahierst du jetzt ein Vielfaches nicht von der ersten sondern von der zweiten Zeile (dadurch, dass da an der ersten Stelle ja schon eine 0 steht, ändert sich die erste Stelle in deinen anderen Zeilen ja auch nicht!).
Dieses Verfahren machst du so weiter, bis du am Ende angelangt bist und die Lösungen rückwärts berechnen kannst - und das war dann auch schon der Gauß-Algorithmus.
Ach, ich habe gerade festgestellt, dass du ja eine Inverse bestimmen solltest - naja, das Problem hatte schon mal jemand: siehe hier
Oder direkt in unserer Mathebank:  MatrixInvertierungGaussJordan
Hilft dir das weiter?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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ok ihr eine Beispiel matrix
[mm] \pmat{1 & 3 & -1 \\ -2 & -1 & 4 \\ -1 & 0 & 2 }
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:23 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Thomas
ich denke, Bastiane hat dir Links gegeben, mit deren Hilfe du dein Problem lösen können solltest.
Poste doch bitte deinen Lösungsversuch, vielleicht nur mal den Anfang, damit wir eventuell korrigierend eingreiben können.
Zur Ueberprüfung: du müsstes auf die folgende Matrix kommen:
[mm] $A^{-1}=\begin{pmatrix}2&6&-11\\0&-1&2\\1&3&-5\end{pmatrix}$
[/mm]
mit lieben Grüssen
Paul
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hallo
wäre trozdem nett wenn jemand diese matrix mal vorrechnet, Bastiane hat mir das allgemein erklärt. es ist mir einiges klar geworden aber immer noch nicht alles.
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Thomas
Obwohl ich überzeugt bin, das dir das überhaupt nicht weiterhilft, mache ich das einmal.
Links die Ausgangsmatrix, rechts die Einheitsmatrix, und durch Zeilenumformungen links die Einheitsmatrix erzeugen, wobei rechts alle Schritte genau gleich mitgerechnet werden. In der Praxis, auf Papier, schreibt man allerdinngs die Matrixklammern nicht, sondern trennt die beiden Zahlenreihen einfach durch einen senkrechten Strich.
[mm] $\begin{pmatrix}1&3&-1\\-2&-1&4\\-1&0&2\end{pmatrix}\,\,\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
[/mm]
Jetzt kann man doch einfach das Doppelte der ersten Zeile zur zweiten addieren, und dann auch noch die erste Zeile zur dritten:
[mm] $\begin{pmatrix}1&3&-1\\0&5&2\\0&3&1\end{pmatrix}\,\,\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}$
[/mm]
Um Brüche zu vermeiden, ist es vielleicht geschickt, zuerst die dritte Spalte zu bereinigen: addiere die dritte Zeile zur ersten, und auch das (-2)-fache der dritten Zeile zur zweiten:
[mm] $\begin{pmatrix}1&6&0\\0&-1&0\\0&3&1\end{pmatrix}\,\,\begin{pmatrix}2&0&1\\0&1&-2\\1&0&1\end{pmatrix}$
[/mm]
Jetzt noch das 6-fache der zweiten Zeile zur ersten addiert, das 3-fache der zweiten Zeile zur dritten:
[mm] $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\,\,\begin{pmatrix}2&6&-11\\0&1&-2\\1&3&-5\end{pmatrix}$
[/mm]
Jetzt brauchst du nur noch die mittlere Zeile mit (-1) zu multiplizieren:
[mm] $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\,\,\begin{pmatrix}2&6&-11\\0&-1&2\\1&3&-5\end{pmatrix}$
[/mm]
War das jetzt wirklich sooo schwierig? 
Mit lieben Grüssen
Paul
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