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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:04 Mi 12.07.2006 | | Autor: | lerita |
| Aufgabe | Sei [mm] X_n [/mm] eine Markoff-Kette. Gilt dies dann auch für
i) [mm] Y_n [/mm] := [mm] X_2_n [/mm]
ii) [mm] Z_n [/mm] := [mm] \phi (X_n) [/mm] für alle [mm] \phi? [/mm]
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Hallo,
vielleicht kann mir jemand mit der Aufgabe helfen?
Vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Mi 12.07.2006 | | Autor: | DirkG |
i) ist richtig, kann man mit der Markoffeigenschaft begründen.
ii) ist nur richtig, sofern [mm] $\phi$ [/mm] injektiv ist. Andernfalls ist es i.a. falsch, wie man an folgendem sogar deterministischen (!) kleinen Beispiel sehen kann:
Zustandsraum [mm] $\{-1,0,1\}$, [/mm] deterministische Übergange
[mm] $$X_n [/mm] = [mm] \begin{cases} -1 & \;\mbox{falls}\; X_{n-1}=1 \\ 0 & \;\mbox{falls}\; X_{n-1}=-1 \\ 1 & \;\mbox{falls}\; X_{n-1}=0 \end{cases}$$
[/mm]
sowie [mm] $\phi(x)=|x|$. [/mm] Dann ist die Folge [mm] $Z_n=\phi(X_n)=|X_n|$ [/mm] mit Zustandsraum [mm] $\{0,1\}$ [/mm] erkennbar nicht-Markoffsch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Mi 12.07.2006 | | Autor: | lerita |
Vielen Dank für die Hilfe.
Wie kann man i) mit der MEigenschaft begründen?
> i) ist richtig, kann man mit der Markoffeigenschaft
> begründen.
>
>
> ii) ist nur richtig, sofern [mm]\phi[/mm] injektiv ist. Andernfalls
> ist es i.a. falsch, wie man an folgendem sogar
> deterministischen (!) kleinen Beispiel sehen kann:
>
> Zustandsraum [mm]\{-1,0,1\}[/mm], deterministische Übergange
> [mm]X_n = \begin{cases} -1 & \;\mbox{falls}\; X_{n-1}=1 \\ 0 & \;\mbox{falls}\; X_{n-1}=-1 \\ 1 & \;\mbox{falls}\; X_{n-1}=0 \end{cases}[/mm]
>
> sowie [mm]\phi(x)=|x|[/mm]. Dann ist die Folge [mm]Z_n=\phi(X_n)=|X_n|[/mm]
> mit Zustandsraum [mm]\{0,1\}[/mm] erkennbar nicht-Markoffsch.
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Mi 12.07.2006 | | Autor: | DirkG |
Markoff-Eigenschaft heißt [mm] $P(X_n\in [/mm] A [mm] \bigm| X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},\ldots) [/mm] = [mm] P(X_n \bigm| X_{n-1}=x_{n-1})$, [/mm] d.h., die Verteilung von [mm] $X_n$ [/mm] ist bei Kenntnis der unmittelbaren Vergangenheit [mm] $X_{n-1}$ [/mm] nur von dieser, aber nicht weiter zurückliegender Vergangenheit abhängig.
Betrachten wir nun
[mm] $$P(X_{2n}\in [/mm] A [mm] \bigm| X_{2n-2}=x_{2n-2},X_{2n-4}=x_{2n-4},\ldots) [/mm] = [mm] \int\limits_{x\in S} [/mm] ~ [mm] P(X_{2n}\in [/mm] A [mm] \bigm| X_{2n-1}=x,X_{2n-2}=x_{2n-2},X_{2n-4}=x_{2n-4},\ldots) [/mm] ~ [mm] \mathrm{d}P(X_{2n-1}=x \bigm| X_{2n-2}=x_{2n-2},X_{2n-4}=x_{2n-4},\ldots)$$
[/mm]
$$= [mm] \int\limits_{x\in S} [/mm] ~ [mm] P(X_{2n}\in [/mm] A [mm] \bigm| X_{2n-1}=x) [/mm] ~ [mm] \mathrm{d}P(X_{2n-1}=x \bigm| X_{2n-2}=x_{2n-2}) [/mm] .$$
Das rechts ist als Lebesgue-Integral zu verstehen, also bei diskretem Zustandsraum $S$ eine Summe. Bei der Vereinfachung rechts wurde zweimal die Markoff-Eigenschaft angewandt, und zwar sowohl bei [mm] $X_{2n-2}\to X_{2n-1}$ [/mm] als auch bei [mm] $X_{2n-1}\to X_{2n}$. [/mm] Erkennbar ist der Integralwert ganz rechts letztendlich nur von $A$ und [mm] $x_{2n-2}$, [/mm] nicht aber von der Restvergangenheit [mm] $x_{2n-4},x_{2n-6},\ldots$ [/mm] abhängig.
Ein anderer Weg: Markoff-Ketten [mm] $(X_n)$ [/mm] kann man "entkoppelt" schreiben, d.h.: Zu [mm] $(X_n)$ [/mm] existieren Folgen unabhängiger Zufallsgrößen [mm] $(Z_n)$ [/mm] sowie deterministischer Funktionen [mm] $f_n$, [/mm] so dass [mm] $X_n [/mm] = [mm] f_n(X_{n-1},Z_n)$ [/mm] gilt. Umgekehrt ist jede Folge [mm] $(X_n)$ [/mm] von Zufallsgrößen, zu der solche [mm] $Z_n,f_n$ [/mm] gehören, auch tatsächlich eine Markoff-Kette.
Diese Charakterisierung nutzend, gilt [mm] $Y_n [/mm] = [mm] f_{2n}(f_{2n-1}(Y_{n-1},Z_{2n-1}),Z_{2n})$. [/mm] Nun setzt man [mm] $g_n(x,z) [/mm] := [mm] f_{2n}(f_{2n-1}(x,z^{(1)}),z^{(2)})$, [/mm] wobei [mm] $z=(z^{(1)},z^{(2)})$ [/mm] einen zweidimensionalen Vektor darstellen möge. Da man aus der Unabhängigkeit der Folge [mm] $(Z_n)$ [/mm] auf die Unabhängigkeit der Vektorenfolge [mm] $(Z_1,Z_2),(Z_3,Z_4),\ldots$ [/mm] schließen kann, folgt so die Markoff-Eigenschaft für [mm] $Y_n$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Mi 12.07.2006 | | Autor: | lerita |
| Aufgabe | | Warum kann -1 in Zustandsraum sein? |
> i) ist richtig, kann man mit der Markoffeigenschaft
> begründen.
>
>
Warum kann -1 in Zustandsraum sein?
> ii) ist nur richtig, sofern [mm]\phi[/mm] injektiv ist. Andernfalls
> ist es i.a. falsch, wie man an folgendem sogar
> deterministischen (!) kleinen Beispiel sehen kann:
>
> Zustandsraum [mm]\{-1,0,1\}[/mm], deterministische Übergange
> [mm]X_n = \begin{cases} -1 & \;\mbox{falls}\; X_{n-1}=1 \\ 0 & \;\mbox{falls}\; X_{n-1}=-1 \\ 1 & \;\mbox{falls}\; X_{n-1}=0 \end{cases}[/mm]
>
> sowie [mm]\phi(x)=|x|[/mm]. Dann ist die Folge [mm]Z_n=\phi(X_n)=|X_n|[/mm]
> mit Zustandsraum [mm]\{0,1\}[/mm] erkennbar nicht-Markoffsch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Mi 12.07.2006 | | Autor: | DirkG |
Verstehe deine Frage nicht: -1 gehört in meinem Beispiel per Festlegung zum Zustandsraum der Kette! Wenn du dir die Kette anschaust, ergibt sich für [mm] $(X_n)$ [/mm] die deterministische Sequenz
...,-1,0,1,-1,0,1,-1,0,1,...
Für [mm] $Z_n=|X_n|$ [/mm] erhalten wir jedoch
...,1,0,1,1,0,1,1,0,1,...
so dass allein bei Kenntnis von [mm] $Z_{n-1}=1$ [/mm] unklar ist, wie [mm] $Z_n$ [/mm] aussieht, genauer gesagt ist z.B.
[mm] $$P(Z_n=0 \bigm| Z_{n-1}=1) [/mm] = [mm] P(Z_n=1 \bigm| Z_{n-1}=1) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$$
[/mm]
bei angenommener Start-Gleichverteilung, d.h., [mm] $P(X_0=-1)=P(X_0=0)=P(X_0=1)=\frac{1}{3}$. [/mm] Dagegen ist
[mm] $$P(Z_n=0 \bigm| Z_{n-1}=1,Z_{n-2}=1) [/mm] = [mm] P(Z_n=1 \bigm| Z_{n-1}=1,Z_{n-2}=0) [/mm] = 1,$$
somit ist [mm] $(Z_n)$ [/mm] nicht-Markoffsch.
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