mal wieder Potenzreihen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Jonez |
| Aufgabe | Entwickle folgende Funktionen, wenn möglich, in eine Potenzreihe um [mm] z_{0} [/mm] und gebe jeweils den Konvergenzradius an.
1. [mm] \bruch{1}{z-1}, z_{0} = i [/mm]
1. [mm] \bruch{1}{(z-1)^{2}}, z_{0} = i [/mm]
1. [mm] |z|^{2}, z_{0} = 0 [/mm]
1. [mm] \sin(z)*\cos(z), z_{0} = 0 [/mm] |
Hi,
erstmal sorry dass ich hier so oft nur Fragen stell, aber hab Donnerstag (Nachhol-) Prüfung und irgendwie noch echt keine Ahnung :-/
Also die erste Aufgabe würde ich mit der geometrischen Reihe lösen:
[mm] \bruch{1}{z-1} = \bruch{1}{i + z - 1 - i} [/mm]
[mm] = \bruch{1}{i - (-z + 1 + i)} [/mm]
[mm] = \bruch{1}{i} * \bruch{1}{1 - (- \bruch{z}{i} + \bruch{1}{i} + 1)} [/mm]
dann in die geometrische Reihe entwickeln:
[mm] = \bruch{1}{i} * \summe_{k=0}^{\infty}{(- \bruch{z}{i} + \bruch{1}{i} + 1)^{k}} [/mm]
[mm] = \bruch{1}{i} * \summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{(-1)^{k}}{i^{k}} * (z - 1 - i)^{k}} [/mm]
[mm] = \summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{(-1)^{k}}{i^{k + 1}} * (z - 1 - i)^{k}} [/mm]
kommt mir aber noch ein bisschen komisch vor...
Da die iso. Sing. bei z = 1 liegt, ist der Konvergenzradius (Abstand i nach 1) gleich [mm] \wurzel(2) [/mm]
Bei der zweiten Aufgabe würde ich normalerweise genauso vorgehen, also erstmal die Klammer unter dem Bruchstrich auflösen und dann wieder mit der geometrischen Reihe, allerdings kommt dann bei mir keine "gescheite" Potenzreihe raus.
Aufgabe 3:
Also hier würde ich mal behaupten, dass [mm] |z|^{2} [/mm] nirgends komplex diffbar ist, und deshalb sich auch keine Potenzreihe um 0 entwickeln lässt.
Allerdings nur weil ich keine Ahnung hab, wie ich an eine Potenzreihe kommen könnte :)
Für die mündliche Prüfung wird diese Begründung nur wohl leider nicht reichen :-/
Aufgabe 4:
Die Potenzreihen von sinus und cosinus sind bekannt, also müsste ich hier jetzt wohl das Cauchy-Produkt der Reihen berechnen?
Oder geht das auch einfacher?
Konvergenzradius sollte jedenfalls [mm] \infty [/mm] sein, da sinus und cosinus ja ganze Funktionen sind und deshalb das produkt auch eine ganze Funktion ist.
Danke,
Jonas
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> Entwickle folgende Funktionen, wenn möglich, in eine
> Potenzreihe um [mm]z_{0}[/mm] und gebe jeweils den Konvergenzradius
> an.
> 1. [mm]\bruch{1}{z-1}, z_{0} = i[/mm]
> 2. [mm]\bruch{1}{(z-1)^{2}}, z_{0} = i[/mm]
>
> 3. [mm]|z|^{2}, z_{0} = 0[/mm]
> 4. [mm]\sin(z)*\cos(z), z_{0} = 0[/mm]
> Hi,
>
> erstmal sorry dass ich hier so oft nur Fragen stell, aber
> hab Donnerstag (Nachhol-) Prüfung und irgendwie noch echt
> keine Ahnung :-/
>
> Also die erste Aufgabe würde ich mit der geometrischen
> Reihe lösen:
> [mm]\bruch{1}{z-1} = \bruch{1}{i + z - 1 - i}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]= \bruch{1}{i - (-z + 1 + i)}[/mm]
Ich verstehe nicht, weshalb Du dies machst. Das Ziel ist doch, in Potenzen von [mm] $\red{(z-\mathrm{i})}$ [/mm] zu entwickeln. Also versuchst Du den Bruch auf die Form [mm]a\cdot\frac{1}{1+b(z-\mathrm{i})}[/mm] zu bringen:
[mm]\frac{1}{z-1}=\frac{1}{\mathrm{i}-1+\red{(z-\mathrm{i})}}=\frac{1}{\mathrm{i}-1}\cdot\frac{1}{1+\frac{\red{z-\mathrm{i}}}{\mathrm{i}-1}}=\frac{1}{\mathrm{i}-1}\cdot\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{-1}{\mathrm{i}-1}\right)^n\red{(z-\mathrm{i})}^n[/mm]
Die Koeffizienten kannst Du noch ein wenig hübscher machen, aber auch so scheint klar, dass der Konvergenradius dieser Reihe den wegen der Singularität bei $z=1$ erwarteten Wert [mm] $|1-\mathrm{i}|=\sqrt{2}$ [/mm] hat.
>
> [mm]= \bruch{1}{i} * \bruch{1}{1 - (- \bruch{z}{i} + \bruch{1}{i} + 1)}[/mm]
Versuche unbedingt möglichst bald einen Term [mm] $(z-\mathrm{i})$ [/mm] zu isolieren.
>
> dann in die geometrische Reihe entwickeln:
> [mm]= \bruch{1}{i} * \summe_{k=0}^{\infty}{(- \bruch{z}{i} + \bruch{1}{i} + 1)^{k}}[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{i} * \summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{(-1)^{k}}{i^{k}} * (z - 1 - i)^{k}}[/mm]
>
> [mm]= \summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{(-1)^{k}}{i^{k + 1}} * (z - 1 - i)^{k}}[/mm]
>
> kommt mir aber noch ein bisschen komisch vor...
Mir auch. Insbesondere solltest Du ja laut Aufgabenstellung um [mm] $z_0=\mathrm{i}$ [/mm] entwickeln und nicht etwa, wie hier, um [mm] $z_0=1+\mathrm{i}$.
[/mm]
Zu 2.: [mm] $\frac{1}{(z-1)^2}$ [/mm] ist die Ableitung von [mm] $\frac{1}{z-1}$, [/mm] so dass man die Lösung von 1. gliedweise ableiten kann. Konvergenzradius muss der selbe wie in 1. sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:55 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Jonez |
Hi,
danke, jetzt wo ich es mir nochmalso durchles ist mir selbst nicht klar, warum ich so gerechnet hab.
Werd das jetzt selbst nochmal durchrechnen.
Danke,
Jonas
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> Entwickle folgende Funktionen, wenn möglich, in eine
> Potenzreihe um [mm]z_{0}[/mm] und gebe jeweils den Konvergenzradius
> an.
> 1. [mm]\bruch{1}{z-1}, z_{0} = i[/mm]
> 2. [mm]\bruch{1}{(z-1)^{2}}, z_{0} = i[/mm]
>
> 3. [mm]|z|^{2}, z_{0} = 0[/mm]
> 4. [mm]\sin(z)*\cos(z), z_{0} = 0[/mm]
> Hi,
>
> erstmal sorry dass ich hier so oft nur Fragen stell, aber
> hab Donnerstag (Nachhol-) Prüfung und irgendwie noch echt
> keine Ahnung :-/
>
> Aufgabe 3:
> Also hier würde ich mal behaupten, dass [mm]|z|^{2}[/mm] nirgends
> komplex diffbar ist, und deshalb sich auch keine
> Potenzreihe um 0 entwickeln lässt.
Richtig.
> Allerdings nur weil ich keine Ahnung hab, wie ich an eine
> Potenzreihe kommen könnte :)
Nein: eine Funktion [mm] $f:\Omega\rightarrow \IC$, [/mm] die nur reelle Werte annimmt, ist entweder konstant oder nicht komplex-diff'bar. Dies folgt z.B. aus der Cauchy-Riemannschen Dgl.: Denn wenn der Funktionswert nur reell ist, dann ist der Imaginärteil der Funktion konstant 0 und daher auch die Ableitung des Imaginärteils. Daher ist bei der Cauchy-Riemannschen Dgl. jeweils eine Seite der beiden Geichungen 0, so dass die Gleichung nur erfüllt sein kann, wenn die andere Seite der Gleichung [mm] ($=\pm$ [/mm] Ableitung des Realteils nach Real- bzw. Imaginärteil des Arguments) auch 0 ist. Woraus, wie gesagt, die Konstanz einer solchen Funktion folgt.
Da [mm] $|z|^2$ [/mm] nur reelle Werte annimmt, aber nicht konstant ist, kann diese Funktion somit nicht analytisch sein und daher auch nicht (in einer Umgebung von [mm] $z_0=0$) [/mm] in eine Potenzreihe entwickelt werden (sonst wäre sie ja komplex-diff'bar).
> Für die mündliche Prüfung wird diese Begründung nur wohl
> leider nicht reichen :-/
In der Tat...
> Aufgabe 4:
> Die Potenzreihen von sinus und cosinus sind bekannt, also
> müsste ich hier jetzt wohl das Cauchy-Produkt der Reihen
> berechnen?
> Oder geht das auch einfacher?
[mm]\sin(z)\cos(z)=\tfrac{1}{2}\sin(2z)[/mm]
Einsetzen von $2z$ in die Potenzreihe von [mm] $\sin(z)$ [/mm] und Multiplizieren der ganzen Reihe mit [mm] $\tfrac{1}{2}$ [/mm] sollte meiner Meinung nach genügen.
> Konvergenzradius sollte jedenfalls [mm]\infty[/mm] sein, da sinus
> und cosinus ja ganze Funktionen sind und deshalb das
> produkt auch eine ganze Funktion ist.
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