m,n € IN: m, n >= 0 < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Fr 23.10.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | | Sei $m,n [mm] \in \IN$. [/mm] Zeige dass m,n >= 0 |
Meine Idee:
Eine Menge definieren $M := [0, [mm] \infty]$ [/mm] und wie folgt zu n >= 0 (I.V.):
I.A. $0 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \in [/mm] M$
I.S. $n+1 [mm] \ge [/mm] 0, n+1 [mm] \ge [/mm] n [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x+1 [mm] \in [/mm] M$
Nur wie komm ich von hier dazu n > 0 für alle [mm] \IN [/mm] zu beweisen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 Fr 23.10.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo ZodiacXP,
dies ist mal wieder eine der typischen Aufgaben, bei der man sich fragen muss, wo der Aufgabensteller (und der, der sie lösen soll) in der Mathematik stehen, will heissen, die Aufgabe kann je nach vorausgesetztem mathematischen Handwerkszeug beliegig schwer oder beliebig einfach sein. Deshalb vorab folgende Fragen:
Wie ist [mm] \IN [/mm] definiert?
Gehört die Null zu [mm] \IN, [/mm] wenn nein, wie ist Null definiert?
Wie ist die Ordnungsrelation [mm] \ge [/mm] definiert?
Und überhaupt, warum tauchen in der Aufgabe zwei Zahlen m und n auf, warum nicht einfach nur n [mm] \in \IN [/mm] folgt n [mm] \ge [/mm] 0?
Gruß
Uli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Sa 24.10.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
[mm] \IN
[/mm]
- 0 liegt in jeder induktiven Menge
- a [mm] \in [/mm] ind. Menge [mm] \Rightarrow [/mm] (a+1) [mm] \in [/mm] ind. Menge
- [mm] \IN [/mm] ist kleinste ind. Menge
[mm] \le [/mm] ist nur als [mm] \le [/mm] gegeben. Die Relationen mit grundlegenden Operationen sind bekannt (Transitivität, Translationsinvarianz / Monotonie, Spiegelung).
Warum es zwei sind weiß ich auch nicht. Das macht aber nichts find ich. Es reicht sicherlich das für n zu zeigen und m analog.
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> Sei [mm]m,n \in \IN[/mm]. Zeige dass m,n >= 0
> Meine Idee:
>
> Eine Menge definieren [mm]M := [0, \infty][/mm] und wie folgt zu n
> >= 0 (I.V.):
> I.A. [mm]0 \ge 0 \Rightarrow 0 \in M[/mm]
> I.S. [mm]n+1 \ge 0, n+1 \ge n \ge 0 \Rightarrow x+1 \in M[/mm]
>
> Nur wie komm ich von hier dazu n > 0 für alle [mm]\IN[/mm] zu
> beweisen?
Hallo,
was sollst Du denn nun beweisen? n>0 oder [mm] n\ge [/mm] 0.
Letzteres ist ja mit dem von Dir skizzierten Beweis gezeigt.
Oder mißverstehe ich Dein Problem?
Vollständige Induktion hast Du verstanden?
Wenn die 0 bei Dir zu [mm] \IN [/mm] gehört, wirst Du n>0 wohl schlecht beweisen können.
Ich würde auch eine Induktion machen. Wofür Du die Menge M brauchst, ist mir nicht so klar, das kannst Du doch getrost weglassen, es wird dadurch nichts falscher.
Begründungsbedürftig ist, wenn aus der "Idee" ein Beweis werden soll, im Induktionsschluß, wie Du auf [mm] n+1\ge [/mm] n kommst. Was hast Du Dir dabei gedacht?
Im Beweis solltest Du dann auch die Induktionsvoraussetzung ordentlich mit anführen, und überhaupt alles schön aufschreiben und begründen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Sa 24.10.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Oha, da ist mir ein winziger Fehler unterlaufen beim hier Eintragen. Es soll $n [mm] \ge [/mm] 0$ gezeigt werden.
Dann mal ohne zweite Menge etwas ordentlicher:
Voraussetzung:
$n [mm] \ge [/mm] 0, n [mm] \in \IN$
[/mm]
I.A. n=0:
$0 [mm] \ge [/mm] 0$
I.S. $n [mm] \to [/mm] n+1$
$n+1 [mm] \ge [/mm] 0$
(Zwei mögliche Antworten:)
- Aus $(n+1) [mm] \in \IN$ [/mm] [bereits für alle n gezeigt] folgt [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm] n [mm] \ge [/mm] 0$.
- Durch Abgeschlossenheit gg. Addition und $n, 1 [mm] \in \IN$ [/mm] gilt $n [mm] \ge [/mm] 0$
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> Oha, da ist mir ein winziger Fehler unterlaufen beim hier
> Eintragen. Es soll [mm]n \ge 0[/mm] gezeigt werden.
>
> Dann mal ohne zweite Menge etwas ordentlicher:
Hallo,
ich bin mir nach wie vor überhaupt nicht sicher, ob Du das Prinzip der vollständigen Induktion verstanden hast.
In dem, was Du nun schreibst, sehe ich bloß überhaupt nicht, wo Du den Induktionsschluß durchgeführt hast.
Ich denke, Du tätest Dir selbst Gutes, würdest Du auch solch eine kleine Sache wie diese Induktion nicht ganz so wortkarg und mit der nötigen Korrektheit durchführen.
> Voraussetzung:
Normalerweise beginnt eine Induktion mit der zu beweisenden Behauptung,
es folgt der Induktionsanfang, dann die induktionsvoraussetzung (Induktionsannahme.)
Es lohnt sich, bei der Induktionsannahme mal kurz beim [mm] n\in \IN [/mm] zu verweilen.
Für welches [mm] n\in \IN? [/mm] Für alle? Für eins? Für "schön" sollte das auf jeden Fall dastehen.
> [mm]n \ge 0, n \in \IN[/mm]
> I.A. n=0:
> [mm]0 \ge 0[/mm]
>
> I.S. [mm]n \to n+1[/mm]
Zu zeigen: Dann ist
> [mm]n+1 \ge 0[/mm]
Bew.:???
>
> (Zwei mögliche Antworten:)
Worauf jetzt genau?
> - Aus [mm](n+1) \in \IN[/mm] [bereits für alle n gezeigt] folgt
> [mm]\forall n \in \IN: n \ge 0[/mm].
Warum?
Und: Du machst doch eine Induktion. Du mußt unter verwendung der Induktionsvoraussetzung
> - Durch Abgeschlossenheit gg.
> Addition und [mm]n, 1 \in \IN[/mm] gilt [mm]n \ge 0[/mm]
Ich weiß dann bloß, daß [mm] n+1\in \IN [/mm] ist.
Ich bin der Meinung, daß es eine Rolle spielt, daß - wie von Dir neulich bewiesen - 0<1 gilt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Sa 24.10.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Vielen Dank für deine Hilfe. Die bringt mich auf den Boden der Tatsachen zurück, da ich dachte Induktion mittlerweile zu beherrschen.
Bei einfachen "Gleichungen" wie "der kleine Gauss" ist es kein Problem. Erst bei Ungleichungen oder solchen Sachen mit Elementen von ... wird es schwer.
Ein neuer voll ausformulierter Versuch:
Annahme:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm] n [mm] \ge [/mm] 0$
Induktionsanfang: n=0
0 [mm] \ge [/mm] 0, was offensichtlich gilt
Induktionsschritt: $n [mm] \rightarrow [/mm] n+1$
$n+1 [mm] \ge [/mm] 0$, was ebenfalls nach Annahme n [mm] \ge [/mm] 0 und 1 > 0 gilt für alle n, insbesondere durch Abgeschlossenheit gg. Addition.
(Abgeschlossenheit gg. Addition: aus x > 0 und y > 0 folgt x+y > 0)
Sollte man den Satz beim I.S. noch ergänzen um n+1 > 0 (echt größer), da 1 > 0 gilt?
Ergänzung:
1 > 0 habe ich zum Schluss mit einem Widerspruch bewiesen und unser Tutor sagte es sei korrekt:
Sei 1 < 0. $1 < 0 [mm] \gdw [/mm] 0 < -1 [mm] \gdw [/mm] 0 < (-1)(-1) [mm] \gdw [/mm] 0 < 1$ Widerspruch also 1 > 0 (Kurzfassung).
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Hallo,
> Annahme:
> [mm]\forall n \in \IN: n \ge 0[/mm]
nein, das ist nicht die Annahme, sondern die zu beweisende Behauptung.
>
> Induktionsanfang: n=0
> 0 [mm]\ge[/mm] 0, was offensichtlich gilt
Induktionsannahme: es ist [mm] n\ge [/mm] 0 für ein [mm] n\in \IN
[/mm]
>
> Induktionsschritt: [mm]n \rightarrow n+1[/mm]
Zu zeigen:
> [mm]n+1 \ge 0[/mm],
Beweis:
> ebenfalls nach Annahme n [mm]\ge[/mm] 0 und 1 > 0 gilt für alle n,
> insbesondere durch Abgeschlossenheit gg. Addition.
Aus der Abgeschlossenheit der Addition erhält man, daß [mm] n+1\in \IN, [/mm] das ist im Prinzip der vollständigen Induktion bereits eingebaut.
An dieser Stelle kommt es auf die Monotonie der Addition an:
Nach Annahme ist [mm] n\le [/mm] 0, früher wurde gezeigt, daß [mm] 1\le [/mm] 0, also ist [mm] n+1\le [/mm] =
> Sollte man den Satz beim I.S. noch ergänzen um n+1 > 0
> (echt größer), da 1 > 0 gilt?
Nein. Energie sparen, nur auf das antworten, was gefragt ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:45 So 25.10.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Monotonie hatte ich vorher da stehen. Fand es aber erst unsinnig weil auf der rechten Seite nichts addiert wurde. Aber nun ist es klar!
Das Schoss mir durch den Kopf und dann machte es "Klick": Nach Annahme $n [mm] \ge [/mm] 0$ kann man umformen [mm] $\gdw [/mm] n + 1 [mm] \ge [/mm] 1$ und da $1 [mm] \ge [/mm] 0$ bringt die Transitivität $n+1 [mm] \ge [/mm] 0$. Wie logisch!
Viiielen Dank! Wieder mal ;)
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