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m*Z \cap n*Z = kgV(m,n)*Z: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:44 Sa 21.05.2016
Autor: sinnlos123

Aufgabe
Aufgabe 25: (Untergruppen von [mm] \IZ [/mm] )

Seien m, n [mm] \in \IZ \setminus [/mm] {0} . Zeigen Sie, dass m* [mm] \IZ \cap [/mm] n* [mm] \IZ [/mm] = kgV(m,n) * [mm] \IZ [/mm] und m* [mm] \IZ [/mm] + n* [mm] \IZ [/mm] = ggT(m,n)* [mm] \IZ [/mm] ist.

Hinweis:  kgV  bzw.  ggT  bezeichnen  das  kleinste  gemeinsame  Vielfache  bzw.  den  größten  gemeinsamen  Teiler.
Sie können (ohne Beweis) ausnutzen, dass für k [mm] \in \IZ [/mm] mit k|m und k|n auch k|kgV(m,n) gilt.

Hallo,

ich verstehe nicht, was [mm] m*\IZ [/mm] sein soll.

Ist das die Menge aller Vielfachen von m?

Hinweis: Das ist eine Hausaufgabe.

        
Bezug
m*Z \cap n*Z = kgV(m,n)*Z: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:07 So 22.05.2016
Autor: leduart

Hallo
du hast die Antwort schon selbst hingeschrieben, [mm] m*\IZ [/mm] sind alle positiven und negativen  Vielfachen von m
Gruß ledum

Bezug
                
Bezug
m*Z \cap n*Z = kgV(m,n)*Z: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:11 So 22.05.2016
Autor: sinnlos123

Hallo leduart,

danke für die Bestätigung.

Also nur nochmal um es klarzustellen,

[mm] m*\IZ [/mm] könnte man auch so schreiben:

{... -1*m, 0*m, 1*m, 2*m ...}

?

Bezug
                        
Bezug
m*Z \cap n*Z = kgV(m,n)*Z: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:16 So 22.05.2016
Autor: leduart

Ja
Gute Nacht , leduart

Bezug
                                
Bezug
m*Z \cap n*Z = kgV(m,n)*Z: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 06:00 So 22.05.2016
Autor: sinnlos123

Seien m, n [mm] \in \IZ \setminus [/mm] {0}
z.z.: [mm] m*\IZ \cap n*\IZ [/mm] = [mm] kgV(m,n)*\IZ [/mm]
Beweis:
[mm] \forall [/mm] x: [mm] x\in m*\IZ \cap n*\IZ \gdw x\in kgV(m,n)*\IZ [/mm]

Rückrichtung [mm] \Leftarrow [/mm]
Sei [mm] x\in kgV(m,n)*\IZ \Rightarrow [/mm] x=q*kgV(m,n) und
[mm] kgV(m,n)=q_{m}*m [/mm] und
[mm] kgV(m,n)=q_{n}*n [/mm]
[mm] \Rightarrow x=q*q_{m}*m [/mm] und [mm] x=q*q_{n}*n [/mm]
[mm] \Rightarrow x=q_{1}*m \wedge x=q_{2}*n [/mm]
[mm] \Rightarrow x\in m*\IZ \cap n*\IZ [/mm]

Vorwärtsrichtung [mm] \Rightarrow [/mm]
Sei [mm] x\in m*\IZ \cap n*\IZ, [/mm] zeige [mm] x\in kgV(m,n)*\IZ [/mm] bzw. x=q*kgV(m,n)
[mm] x=q_{1}*m [/mm]
[mm] x=q_{2}*n [/mm]
Satz von der Division mit Rest
x=y*kgV(m,n)+r   mit [mm] 0\le [/mm] r<kgV(m,n)
Annahme: r>0
[mm] q_{1}*m=y*q_{3}*m+r \Rightarrow [/mm] m|r
[mm] q_{2}*m=y*q_{4}*n+r \Rightarrow [/mm] n|r
Widerspruch deshalb, weil sonst r das kgV wäre.
[mm] \Rightarrow [/mm] r=0
Daher x=y*kgV(m,n) und daher auch
[mm] x\in kgV(m,n)*\IZ [/mm]

Ist das so richtig?
Sind irgendwelche Formulierungen schlecht oder schlicht falsch?

Bezug
                                        
Bezug
m*Z \cap n*Z = kgV(m,n)*Z: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:21 Di 24.05.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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