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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:51 Di 18.10.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Man zeige für $1 [mm] \leq p_1 [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] und $x [mm] \in l^{p_1}$:
[/mm]
[mm] $\lim_{p \to \infty} ||x||_p [/mm] = [mm] ||x||_{\infty}$. [/mm] |
Hallo,
Mir fehlt bei der Bearbeitung der letzte aber entscheidende (und ich vermute auch schwerste) Schritt. Ich habe gezeigt, dass mit [mm] $p_1\leq [/mm] p [mm] \leq [/mm] p'$ gilt: [mm] $||x||_{p'} \leq ||x||_p$. [/mm] Damit ist [mm] $||x||_p$ [/mm] monoton fallend in p.
Außerdem gilt offenbar, dass [mm] $||x||_p [/mm] = [mm] \left(\summe_n |x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}} \geq \left(\max_{n} |x_n|^p \right)^{\frac{1}{p}} [/mm] = [mm] ||x||_{\infty}$.
[/mm]
Also haben wir eine untere Schranke und müssen nun nur noch zeigen, dass der Grenzwert [mm] $\lim_{p \to \infty} ||x||_p$ [/mm] nicht größer ist als [mm] $||x||_{\infty}$, [/mm] und hierbei komme ich auf keinen Ansatz. Kann mir dabei jemand weiter helfen?
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:21 Di 18.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Mir fehlt bei der Bearbeitung der letzte aber entscheidende (und ich vermute auch schwerste) Schritt.
So schwer ist der gar nicht.
> $ [mm] ||x||_p [/mm] = [mm] \left(\summe_n |x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}} \geq \left(\max_{n} |x_n|^p \right)^{\frac{1}{p}} [/mm] = [mm] ||x||_{\infty} [/mm] $
Ja.
Jetzt betrachte
[mm] $\summe_n \left(\frac{|x_n|}{\max_{n} |x_n|} \right)^p$
[/mm]
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:01 Di 18.10.2011 | | Autor: | Lippel |
Super, danke. Mit dem Tipp hats jetzt geklappt. Man muss nur die Idee haben.
LG, Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:13 Di 18.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Eine Bemerkung:
oben ist ständig von
[mm] \left(\max_{n} |x_n|^p \right)^{\frac{1}{p}}
[/mm]
die Rede. Das Maximum muß nicht ex. Also besser:
[mm] \left(\sup_{n} |x_n|^p \right)^{\frac{1}{p}}.
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Di 18.10.2011 | | Autor: | Blech |
In [mm] $l^p$ [/mm] schon, oder? =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Di 18.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> In [mm]l^p[/mm] schon, oder? =) ????
Es ist
[mm] $l^p=\{(x_n): \sum |x_n| < \infty \} \subseteq l^{\infty}= \{(x_n): (x_n) ~ist ~ beschraenkt ~\}$
[/mm]
und für [mm] $x=(x_n) \in l^{\infty}$ [/mm] ist
[mm] $||x||_{\infty}= [/mm] sup [mm] ~|x_n|$
[/mm]
FRED
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Di 18.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
es gilt [mm] $x\in l^{p}$, $p<\infty$ [/mm] nach Voraussetzung.
Sonst hätten wir auch keine Konvergenzaussage. =)
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Di 18.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> es gilt [mm]x\in l^{p}[/mm], [mm]p<\infty[/mm] nach Voraussetzung.
>
> Sonst hätten wir auch keine Konvergenzaussage. =)
Was meinst Du damit ?
FRED
>
> ciao
> Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Di 18.10.2011 | | Autor: | Blech |
Wenn es kein [mm] $p<\infty$ [/mm] gibt mit [mm] $x\in l^p$, [/mm] dann kann auch nicht [mm] $\| x\|_p\to\| x\|_\infty$ [/mm] gelten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 Di 18.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wenn es kein [mm]p<\infty[/mm] gibt mit [mm]x\in l^p[/mm], dann kann auch
> nicht [mm]\| x\|_p\to\| x\|_\infty[/mm] gelten.
Ich hab keine Ahnung was das soll. Der Ausgangspunkt unserer Diskussion war:
es ist
$ [mm] ||x||_{\infty}= [/mm] sup [mm] ~|x_n| [/mm] $
ünd nicht
$ [mm] ||x||_{\infty}= [/mm] max [mm] ~|x_n| [/mm] $
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Di 18.10.2011 | | Autor: | Blech |
Nein,
der Ausgangspunkt der Diskussion war die Aufgabe:
> Man zeige für $ 1 [mm] \leq p_1 [/mm] < [mm] \infty [/mm] $ und $ x [mm] \in l^{p_1} [/mm] $:
> $ [mm] \lim_{p \to \infty} ||x||_p [/mm] = [mm] ||x||_{\infty} [/mm] $.
Dazu hat Lippel dann völlig richtig festgestellt:
> Außerdem gilt offenbar, dass $ [mm] ||x||_p [/mm] = [mm] \left(\summe_n |x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}} \geq \left(\max_{n} |x_n|^p \right)^{\frac{1}{p}} [/mm] = [mm] ||x||_{\infty} [/mm] $.
Folg der Ungleichungskette mal von links nach rechts, jede Aussage ist wahr.
Ja, es gibt in [mm] $l^\infty$ [/mm] x, für die das Maximum nicht angenommen wird, aber die werden von der Aufgabe von vornherein ausgeschlossen, weil es für sie die Konvergenzaussage, die wir in der Aufgabe beweisen wollen, nicht geben kann.
ciao
Stefan
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