lokales minimum < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 So 12.08.2012 | | Autor: | sqflo |
| Aufgabe | (a) Sei $f: [mm] \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ [/mm] eine differenzierbare Funktion, deren Ableitung nur in [mm] $a\in\mathbb{R}$ [/mm] eine Nullstelle hat. Zeigen Sie: Hat $f$ in $a$ ein globales Minimum, so nimmt die Funktion $f$ in $a$ ihr globales Minimum an.
(b) Verifizieren Sie, dass die obige Aussage für differenzierbare Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher i. Allg. nicht gilt, indem Sie die Funktion [mm] $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},f(x,y)=2x^3+3e^{2y}-6xe^y$ [/mm] betrachten. |
hallo... das ist meine lösung der aufgaben:
zuerst (a):
Sei b ein lokales minimum, dann gibt es ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] so, dass [mm] $\forall x\in(b-\varepsilon,b+\varepsilon):f(x)\ge [/mm] f(b)$.
Wähle Folgen [mm] $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}, (x_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset(b-\varepsilon,b+\varepsilon)$, $x_n\searrow,$, $x_n\neq [/mm] b$ und [mm] $y_n\nearrow [/mm] b$, [mm] $y_n\neq [/mm] b$.
Dann gilt [mm] $\frac{f(x_n)-f(b)}{x_n-b}\ge [/mm] 0$ und
[mm] $\frac{f(y_n)-f(b)}{y_n-b}\le [/mm] 0$ [mm] $\forall n\in\mathbb{N}$.
[/mm]
Also gilt: [mm] $0\le lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n)-f(b)}{x_n-b}=f'(b)=lim_{n\to\infty}\frac{f(y_n)-f(b)}{y_n-b}\le [/mm] 0$.
Also ist $f'(b)=0$ und somit $b=a$ wegen der Voraussetzung.
Da es keine weiteren Minima gibt, die kleiner als f(a) sein könnten und keine Wendepunkte existieren (die wären nämlich auch Nullstellen der Ableitung) , muss a ein globales Minimum sein.
---
nun zu (b):
[mm] $Df(x,y)=(6x^2-6e^y,6e^{2y}-6xe^y)$ [/mm] hat als einzige Nullstelle $(x,y)=(1,0)$. Es gibt allerdings kein globales Minimum, da für [mm] $(x_n,y_n)=(-n,0)$ [/mm] die Funktion für fast alle n streng monoton fallend ist: [mm] $f(x_n,y_n)=2n(3-n^2)+3$
[/mm]
ist das soweit alles richtig?
lg
flo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 So 12.08.2012 | | Autor: | Helbig |
> (a) Sei [mm]f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm] eine differenzierbare
> Funktion, deren Ableitung nur in [mm]a\in\mathbb{R}[/mm] eine
> Nullstelle hat. Zeigen Sie: Hat [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm] ein globales
> Minimum, so nimmt die Funktion [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm] ihr globales Minimum
> an.
Dies ist Unsinn. Wie heißt die Aufgabe? Mir fallen mindestens zwei Varianten ein.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 So 12.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> > (a) Sei [mm]f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm] eine differenzierbare
> > Funktion, deren Ableitung nur in [mm]a\in\mathbb{R}[/mm] eine
> > Nullstelle hat. Zeigen Sie: Hat [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm] ein globales
> > Minimum, so nimmt die Funktion [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm] ihr globales Minimum
> > an.
>
> Dies ist Unsinn. Wie heißt die Aufgabe? Mir fallen
> mindestens zwei Varianten ein.
ne, unsinnig ist das nicht. Wenn [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $a\,$ [/mm] ein globales Minimum hat, dann nimmt [mm] $f\,$ [/mm] dort ihr globales Minimum an. Das ist trivialerweise richtig - ohne jegliche andere Voraussetzungen. 
Also hier kann man schreiben: Beweis trivial per Definitionem des Begriffes des globalen Minimums.
(Oder sehe ich gerade was nicht?)
P.S. Ich tippe drauf, dass eigentlich von einem lokalen auf ein globales Minimum geschlossen werden soll.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 So 12.08.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
es könnte auch heißen: "Hat f ein globales Minimum, so nimmt es das auch in a an."
Dann müsste man nicht mal voraussetzen, dass in a ein lokales Minimum vorliegt 
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Mo 13.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> (a) Sei [mm]f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm] eine differenzierbare
> Funktion, deren Ableitung nur in [mm]a\in\mathbb{R}[/mm] eine
> Nullstelle hat. Zeigen Sie: Hat [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm] ein globales
> Minimum, so nimmt die Funktion [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm] ihr globales Minimum
Ich vermute: vorausgesetzt ist, dass f in a ein lokales Minimum besitzt.
Zeigen sollst Du: f hat in a sein globales Minimum.
> an.
>
> (b) Verifizieren Sie, dass die obige Aussage für
> differenzierbare Funktionen mehrerer reeller
> Veränderlicher i. Allg. nicht gilt, indem Sie die Funktion
> [mm]f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},f(x,y)=2x^3+3e^{2y}-6xe^y[/mm]
> betrachten.
> hallo... das ist meine lösung der aufgaben:
>
> zuerst (a):
> Sei b ein lokales minimum, dann gibt es ein [mm]\varepsilon>0[/mm]
> so, dass [mm]\forall x\in(b-\varepsilon,b+\varepsilon):f(x)\ge f(b)[/mm].
>
> Wähle Folgen [mm](y_n)_{n\in\mathbb{N}}, (x_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset(b-\varepsilon,b+\varepsilon)[/mm],
> [mm]x_n\searrow,[/mm], [mm]x_n\neq b[/mm] und [mm]y_n\nearrow b[/mm], [mm]y_n\neq b[/mm].
>
> Dann gilt [mm]\frac{f(x_n)-f(b)}{x_n-b}\ge 0[/mm] und
> [mm]\frac{f(y_n)-f(b)}{y_n-b}\le 0[/mm] [mm]\forall n\in\mathbb{N}[/mm].
>
>
> Also gilt: [mm]0\le lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n)-f(b)}{x_n-b}=f'(b)=lim_{n\to\infty}\frac{f(y_n)-f(b)}{y_n-b}\le 0[/mm].
>
> Also ist [mm]f'(b)=0[/mm] und somit [mm]b=a[/mm] wegen der Voraussetzung.
Ich gehe mal davon aus, dass die Aufgabe so lautet, wie ich es oben vermutet habe.
Zu zeigen ist dann nur, dass es kein x [mm] \in \IR [/mm] gibt mit: f(x)<f(a).
Nehmen wir an, es gäbe ein solches x. Wir können x<a annehmen (der Fall x>a geht genauso).
Sei nun g die Einschränkung von f auf das kompakte Intervall [x,a].
Begründe folgende Schritte:
1. Es gibt ein [mm] x_0 \in [/mm] [x,a] mit g(t) [mm] \le g(x_0) [/mm] für alle t [mm] \in [/mm] [x,a].
2. Es ist [mm] x_0 \ne [/mm] a und [mm] x_0 \ne [/mm] x.
3. [mm] g'(x_0)=0.
[/mm]
4. [mm] f'(x_0)=0
[/mm]
Aus 4. folgt der Widerspruch [mm] x_0=0, [/mm] denn f' hat nur eine Nullstelle.
>
> Da es keine weiteren Minima gibt, die kleiner als f(a) sein
> könnten und keine Wendepunkte existieren (die wären
> nämlich auch Nullstellen der Ableitung) , muss a ein
> globales Minimum sein.
>
>
>
> ---
> nun zu (b):
> [mm]Df(x,y)=(6x^2-6e^y,6e^{2y}-6xe^y)[/mm] hat als einzige
> Nullstelle [mm](x,y)=(1,0)[/mm]. Es gibt allerdings kein globales
> Minimum, da für [mm](x_n,y_n)=(-n,0)[/mm] die Funktion für fast
> alle n streng monoton fallend ist: [mm]f(x_n,y_n)=2n(3-n^2)+3[/mm]
Das ist O.K.
>
> ist das soweit alles richtig?
s.o.
FRED
>
>
> lg
> flo
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Mo 13.08.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo FRED,
> > (a) Sei [mm]f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm] eine differenzierbare
> > Funktion, deren Ableitung nur in [mm]a\in\mathbb{R}[/mm] eine
> > Nullstelle hat. Zeigen Sie: Hat [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm] ein globales
> > Minimum, so nimmt die Funktion [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm] ihr globales Minimum
>
> Ich vermute: vorausgesetzt ist, dass f in a ein lokales
> Minimum besitzt.
>
> Zeigen sollst Du: f hat in a sein globales Minimum.
>
>
> > an.
> >
> > (b) Verifizieren Sie, dass die obige Aussage für
> > differenzierbare Funktionen mehrerer reeller
> > Veränderlicher i. Allg. nicht gilt, indem Sie die Funktion
> > [mm]f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},f(x,y)=2x^3+3e^{2y}-6xe^y[/mm]
> > betrachten.
> > hallo... das ist meine lösung der aufgaben:
> >
> > zuerst (a):
> > Sei b ein lokales minimum, dann gibt es ein
> [mm]\varepsilon>0[/mm]
> > so, dass [mm]\forall x\in(b-\varepsilon,b+\varepsilon):f(x)\ge f(b)[/mm].
>
> >
> > Wähle Folgen [mm](y_n)_{n\in\mathbb{N}}, (x_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset(b-\varepsilon,b+\varepsilon)[/mm],
> > [mm]x_n\searrow,[/mm], [mm]x_n\neq b[/mm] und [mm]y_n\nearrow b[/mm], [mm]y_n\neq b[/mm].
> >
> > Dann gilt [mm]\frac{f(x_n)-f(b)}{x_n-b}\ge 0[/mm] und
> > [mm]\frac{f(y_n)-f(b)}{y_n-b}\le 0[/mm] [mm]\forall n\in\mathbb{N}[/mm].
>
> >
> >
> > Also gilt: [mm]0\le lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n)-f(b)}{x_n-b}=f'(b)=lim_{n\to\infty}\frac{f(y_n)-f(b)}{y_n-b}\le 0[/mm].
>
> >
> > Also ist [mm]f'(b)=0[/mm] und somit [mm]b=a[/mm] wegen der Voraussetzung.
>
>
> Ich gehe mal davon aus, dass die Aufgabe so lautet, wie ich
> es oben vermutet habe.
>
> Zu zeigen ist dann nur, dass es kein x [mm]\in \IR[/mm] gibt mit:
> f(x)<f(a).
>
> Nehmen wir an, es gäbe ein solches x. Wir können x<a
> annehmen (der Fall x>a geht genauso).
>
> Sei nun g die Einschränkung von f auf das kompakte
> Intervall [x,a].
>
> Begründe folgende Schritte:
>
> 1. Es gibt ein [mm]x_0 \in[/mm] [x,a] mit g(t) [mm]\le g(x_0)[/mm] für
> alle t [mm]\in[/mm] [x,a].
>
> 2. Es ist [mm]x_0 \ne[/mm] a und [mm]x_0 \ne[/mm] x.
>
> 3. [mm]g'(x_0)=0.[/mm]
>
> 4. [mm]f'(x_0)=0[/mm]
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>
> Aus 4. folgt der Widerspruch [mm]x_0=0,[/mm] denn f' hat nur eine
> Nullstelle.
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> >
> > Da es keine weiteren Minima gibt, die kleiner als f(a) sein
> > könnten und keine Wendepunkte existieren (die wären
> > nämlich auch Nullstellen der Ableitung) , muss a ein
> > globales Minimum sein.
> >
> >
> >
> > ---
> > nun zu (b):
> > [mm]Df(x,y)=(6x^2-6e^y,6e^{2y}-6xe^y)[/mm] hat als einzige
> > Nullstelle [mm](x,y)=(1,0)[/mm]. Es gibt allerdings kein globales
> > Minimum, da für [mm](x_n,y_n)=(-n,0)[/mm] die Funktion für fast
> > alle n streng monoton fallend ist: [mm]f(x_n,y_n)=2n(3-n^2)+3[/mm]
>
> Das ist O.K.
Nicht ganz! Es bleibt zu zeigen, daß [mm] $\,f$ [/mm] in $(1,0)$ ein lokales Minimum hat.
Gruß,
Wolfgang
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