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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Di 05.07.2005 | | Autor: | Andi |
Hallo liebe Matheräumler,
ich würde mich freuen wenn sich jemand mal folgende Aufgabe anschauen könnte:
Gegeben sei eine Funktion [mm] f: \IR^2 \to \IR [/mm] durch
[mm] f(x;y) = e^{xy} + x^2 + \lambda*y^2[/mm] mit [mm] \lambda > 0[/mm]
a) Zeigen Sie, dass für [mm] \lambda > \bruch{1}{4} [/mm] im Nullpunkt ein lokales Minimum vorliegt.
b) Bestimmen Sie die kritischen Punkte for [mm] 0 < \lambda < \bruch{1}{4}[/mm]. Liegt im Nullpunkt noch ein Minimum vor?
zu a):
[mm] grad f(x;y)=(e^{xy}*y+2x, e^{xy}*x+2 \lambda y)=(0;0)[/mm]
[mm] \Rightarrow (e^0 * 0+2*0;e^0 * 0+2* \lambda 0)=(0;0)[/mm]
Also ist der Nullpunkt ein kritischer Punkt.
[mm]Hess f(x;y)= \pmat{ e^{xy}y^2+2 & e^{xy}+yx*e^{xy} \\ e^{xy}+yx*e^{xy} & e^{xy}*x^2+2 \lambda }[/mm]
[mm]Hess f(0;0)= \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 \lambda }[/mm]
So nun wollte ich mir die definitheit der Matrix mit Hilfe der Eigenwerte anschaun.
[mm] det \pmat{ 2- \mu & 1 \\ 1 & 2 \lambda - \mu }=(2- \mu)(2 \lambda - \mu)-1=0[/mm]
Das ergibt die quadratische Gleichung: [mm] \mu^2-2 \mu (\lambda +1)+4\lambda-1=0[/mm]
Die Lösung dieser Gleichung ist:
[mm] \mu_{1;2} = \bruch{2( \lambda +1) \pm \wurzel{ 4(\lambda +1)^2-4*(4* \lambda-1)}}{2}=\lambda+1 \pm \wurzel{( \lambda^2+2 \lambda +1-4 \lambda+1}= \lambda+1 \pm \wurzel{( \lambda -1)^2+1}[/mm]
So ein lokales Minimum würde ja jetzt vorliegen wenn beide Eigenwerte positiv sind. Also muss gelten:
[mm]\lambda +1 > \wurzel{(\lambda-1)^2+1}[/mm]
[mm] \gdw (\lambda+1)^2 > (\lambda-1)^2+1 [/mm]
[mm] \gdw \lambda^2+2\lambda+1 >\lambda^2-2\lambda+1+1[/mm]
[mm] \gdw 4 \lambda > 1 [/mm]
[mm] \gdw \lambda > \bruch{1}{4} [/mm]
Das war zu zeigen.
Geht es vielleicht einfacher?
b)
Um die kritischen Punkte zu bestimmen muss ich nachschauen wann der Gradient 0 ist.
[mm] grad f(x;y)=(e^{xy}*y+2x, e^{xy}*x+2 \lambda y)=(0;0)[/mm]
[mm] \gdw [/mm]
[mm] e^{xy}*y+2x=0 [/mm]
[mm] e^{xy}*x+2 \lambda y=0 [/mm]
Puh ... also irgendwie steh ich bei diesem Gleichungssystem auf dem Schlauch. Kann mir da jemand weiterhelfen ?
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Di 05.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
> [mm]grad f(x;y)=(e^{xy}*y+2x, e^{xy}*x+2 \lambda y)=(0;0)[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]e^{xy}*y+2x=0[/mm]
> [mm]e^{xy}*x+2 \lambda y=0[/mm]
Mach' doch zunächst einfach mal eine Fallunterscheidung:
[1.] $x \ = \ 0$
[2.] $x \ [mm] \not= [/mm] \ 0$
Analog für y (was aber keine neuen Erkenntnisse zu [1.] bzw. [2.] bringen wird ...).
Damit reduzierst Du Dein Gleichungssystem schon.
Beim Fall [2.] kannst Du Deine 2. Gleichung dann nach einer der beiden Variablen x oder y umstellen und in die andere Gleichung einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Di 05.07.2005 | | Autor: | Andi |
Hallo Loddar,
> > [mm]e^{xy}*y+2x=0[/mm]
> > [mm]e^{xy}*x+2 \lambda y=0[/mm]
> Beim Fall [2.] kannst Du Deine 2. Gleichung dann nach einer
> der beiden Variablen x oder y umstellen und in die andere
> Gleichung einsetzen.
Ich schaff es gerade nicht die 2. Gleichung nach einer Variablen aufzulösen. Die e-Funktion stört mich. Kannst du es mir zeigen?
Liebe Grüße,
Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Di 05.07.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Zu der 1.
Die Determinante ist [mm] 4*\lambda-1
[/mm]
Für Minimum muss det > 0 sein:
Also [mm] 4*\lambda-1>0 [/mm] => [mm] \lambda> \bruch{1}{4}
[/mm]
Gruß
Faenôl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Di 05.07.2005 | | Autor: | Andi |
Hi Faenol,
> Die Determinante ist [mm]4*\lambda-1[/mm]
>
> Für Minimum muss det > 0 sein:
Ist das ein hinreichendes oder notwendiges Kriterium?
Also ich meine, reicht es schon zu zeigen dass det (Hess f(x;y)>0) für ein Minimum? Ich kenn das nämlich noch nicht.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Di 05.07.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Ja, das reicht ! Aber es muss > 0 sein, nicht [mm] \ge [/mm] !
Wenn [mm] \ge [/mm] dann kannst du keine Aussage machen ! (Sattelpkt)
Faenôl
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... ) !
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
Asche auf mein Haupt *riesel* !!
