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lokale integrierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 Mo 06.02.2012
Autor: vivo

Hallo,

hat jemand ein Beispiel für eine Funktion die nicht lokal integrierbar ist.
Also eine für die nicht

[mm]\int_K |f(x)|dx < \infty [/mm]

gilt, wobei [mm]K[/mm] kompakte Mengen sind.

Irgendwie hab ich da grad voll den Hänger! Wenn [mm]K[/mm] doch Kompakt ist, wieso sollte ein solches Integral dann nicht endlich sein?

Vielen Dank

        
Bezug
lokale integrierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 Mo 06.02.2012
Autor: dennis2

Zum Beispiel ist die Funktion

[mm] $f(x)=\begin{cases} \frac{1}{x} & x\neq 0\\ 0 & x=0 \end{cases} [/mm]

nicht lokal integrierbar im Punkt 0.

Bezug
                
Bezug
lokale integrierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Mo 06.02.2012
Autor: vivo

Ist denn jede stetige Funktion lokal integrierbar ?

Denn jede stetige Funktion nimmt auf einem Kompaktum ja ein maximum an.

Wenn ja, gilt auch folgendes (?):

es liegt eine stetige Funktion [mm]f: \IR_+\times \IR_+ \to \IR_+[/mm] vor

die Frage ist ob diese 4 mal lokal integrierbar ist, also ob

[mm]f \in L^4_{loc}(\IR_+ \times \IR_+)[/mm]

gilt.

Vielen Dank

Bezug
                        
Bezug
lokale integrierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:03 Di 07.02.2012
Autor: MatthiasKr

Hallo,

> Ist denn jede stetige Funktion lokal integrierbar ?

ja.

>
> Denn jede stetige Funktion nimmt auf einem Kompaktum ja ein
> maximum an.
>  

richtig.

> Wenn ja, gilt auch folgendes (?):
>  
> es liegt eine stetige Funktion [mm]f: \IR_+\times \IR_+ \to \IR_+[/mm]
> vor
>  
> die Frage ist ob diese 4 mal lokal integrierbar ist, also
> ob
>
> [mm]f \in L^4_{loc}(\IR_+ \times \IR_+)[/mm]
>
> gilt.
>  

wenn f stetig ist, ist es auch [mm] $|f|^4$, [/mm] und diese funktion ist damit ebenfalls beschränkt auf kompakta. also folgt [mm] $f\in L^4_{loc}$. [/mm]

gruss
matthias


> Vielen Dank


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