lokale/globale Maxima/Minima < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Sa 03.11.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die lokalen und die globalen Extremwerte der Funktion f im Intervall [-4; +4]. Klären Sie, welche Extrema Minima und welche Maxima sind.
a) $f(x)=x³-6x²+9x-5$
b) [mm] $f(x)=\bruch{x²}{4} [/mm] - [mm] \bruch{4}{x}$ [/mm] |
Hallo Zusammen,
bei der Aufgabe a) hab ich nur eine Frage:
Maxima liegt bei (1/-1) und das Minima bei (3/-5), jetzt muss noch überprüft werden ob dies die globalen oder lokalen der Funktion sind, dies wird doch, weil Betrachtung im Intervall [-4; +4] an den Randpunkte vorgenommen. Hierbei kommt folgendes heraus:
f(-4)=-201
f(4)=-1
Somit ist das Minima bestimmt ein lokales, weil allein der Randpunkt schon unter dem y-Wert des Minimas liegt. Nur beim Maxima kann man nicht sicher sagen, ob dieses lokal oder das globale der Funktion ist. Man darf die Funktion nur in dem Intervall betrachten. Somit könnte man vermuten dass das lokale Maxima (1/-1) zugleich auch das globale ist, oder?
b)
[mm] $f(x)=\bruch{x²}{4} [/mm] - [mm] \bruch{4}{x}$
[/mm]
[mm] $f'(x)=\bruch{8x}{16} [/mm] + [mm] \bruch{4}{x²}$ [/mm] 'die Ableitung müsste stimmen
$0 [mm] =\bruch{8x}{16} [/mm] + [mm] \bruch{4}{x²}$ [/mm] 'jetzt gleichnamig machen (HN: 16x²) und addieren
$0 [mm] =\bruch{8x³+64}{16x²}$ [/mm] | *(16x²)
$0 = 8x+64$
$-64 = 8x$
$x= -8$
nur wenn ich dies in f'(x) einsetzte kommt nicht Null heraus, wo liegt der Fehler? Vielen Dank.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Sa 03.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimmen Sie die lokalen und die globalen Extremwerte der
> Funktion f im Intervall [-4; +4]. Klären Sie, welche
> Extrema Minima und welche Maxima sind.
>
> a) [mm]f(x)=x³-6x²+9x-5[/mm]
>
> b) [mm]f(x)=\bruch{x²}{4} - \bruch{4}{x}[/mm]
> Hallo Zusammen,
>
> bei der Aufgabe a) hab ich nur eine Frage:
>
> Maxima liegt bei (1/-1) und das Minima bei (3/-5), jetzt
> muss noch überprüft werden ob dies die globalen oder
> lokalen der Funktion sind, dies wird doch, weil Betrachtung
> im Intervall [-4; +4] an den Randpunkte vorgenommen.
> Hierbei kommt folgendes heraus:
>
> f(-4)=-201
> f(4)=-1
>
> Somit ist das Minima bestimmt ein lokales, weil allein der
> Randpunkt schon unter dem y-Wert des Minimas liegt. Nur
> beim Maxima kann man nicht sicher sagen, ob dieses lokal
> oder das globale der Funktion ist. Man darf die Funktion
> nur in dem Intervall betrachten. Somit könnte man vermuten
> dass das lokale Maxima (1/-1) zugleich auch das globale
> ist, oder?
>
Sieht gut aus.
>
> b)
>
> [mm]f(x)=\bruch{x²}{4} - \bruch{4}{x}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{8x}{16} + \bruch{4}{x²}[/mm] 'die Ableitung müsste
> stimmen
>
Stimmt auch, aber kürze doch erstmal noch:
[mm] \bruch{8x}{16} [/mm] + [mm] \bruch{4}{x²}
[/mm]
[mm] =\bruch{x}{2}+\bruch{4}{x²}
[/mm]
Und jetzt.
[mm] 0=\bruch{x}{2}+\bruch{4}{x²}
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{x}{2}=-\bruch{4}{x²} [/mm] |*2|*x²
[mm] \gdw [/mm] x³=-8
[mm] \gdw [/mm] x=-2
In deiner Rechnung hast dzu in folgendem Schritt das [mm] x\red{³} [/mm] unterschlagen.
$ 0 [mm] =\bruch{8x³+64}{16x²} [/mm] $ | *(16x²)
[mm] \gdw [/mm] 0 = [mm] 8x^{\red{3}}+64 [/mm]
Marius
|
|
|
|
