lokale Änderungsrate in der In < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 So 21.09.2014 | | Autor: | NinaAK13 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie für die Funktion f die durchschnittliche Änderungsrate auf dem Intervall I=[a;b] sowie die lokale Änderungsrate in der Intervallmitte. |
Hallo,
Ich wollte gerade die lokale Änderungsrate der Intervallmitte berechnen, komme aber nicht weiter...bitte um Hilfe!
Die Funktion f ist: f [mm] (x)=-3x^2+4
[/mm]
Intervall : I=[-1;3]
Meine bisherige Rechnung:
X0= (-1+3)/(2)=1
Lim (x gegen unendlich) (f (x)-f [mm] (1))/x-1=((-3x^3+4)-(3*1^3+4))/x-1
[/mm]
= [mm] (-3x^3+3)/(x-1)
[/mm]
Und jetzt weiß ich dass ich mit der Polynomdivison den Zähler lösen muss, um die (x-1) im Nenner kürzen zu können
[mm] (-3x^3+3):(x-1)=-3x^2
[/mm]
[mm] -(-3x^2+3x^2)
[/mm]
.... und ab hier weiß ich nicht mehr weiter, da man die [mm] 3x^2 [/mm] ja nicht von 3 abziehen kann.
Wie war das nochmal?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 So 21.09.2014 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie für die Funktion f die durchschnittliche
> Änderungsrate auf dem Intervall I=[a;b] sowie die lokale
> Änderungsrate in der Intervallmitte.
> Hallo,
> Ich wollte gerade die lokale Änderungsrate der
> Intervallmitte berechnen, komme aber nicht weiter...bitte
> um Hilfe!
> Die Funktion f ist: f [mm](x)=-3x^2+4[/mm]
> Intervall : I=[-1;3]
>
> Meine bisherige Rechnung:
> X0= (-1+3)/(2)=1
> Lim (x gegen unendlich) (f (x)-f
> [mm](1))/x-1=((-3x^3+4)-(3*1^3+4))/x-1[/mm]
>
> = [mm](-3x^3+3)/(x-1)[/mm]
>
> Und jetzt weiß ich dass ich mit der Polynomdivison den
> Zähler lösen muss, um die (x-1) im Nenner kürzen zu
> können
>
> [mm](-3x^3+3):(x-1)=-3x^2[/mm]
> [mm]-(-3x^2+3x^2)[/mm]
>
> .... und ab hier weiß ich nicht mehr weiter, da man die
> [mm]3x^2[/mm] ja nicht von 3 abziehen kann.
> Wie war das nochmal?
>
Hallo,
deine zu bildende Differenz ist
[mm](-3x^3+3)-(-3\red{x^3}+3x^2}=3-3x^2[/mm].
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 So 21.09.2014 | | Autor: | NinaAK13 |
Vielen lieben Dank:)
Das Ergebnis der Polynomdivison ist jetzt [mm] -3x^2+3x-3
[/mm]
Aber um jetzt wieder zur lokalen Änderungsrate zurück zu kommen...wie geht es jetzt weiter? Bzw wie schreib ich dieses Ergebnis der Polynomdivison in den Zähler um im Nenner mit der (x-1) kürzen zu können?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen lieben Dank:)
> Das Ergebnis der Polynomdivison ist jetzt [mm]-3x^2+3x-3[/mm]
was rechnest Du denn da?
Es war
$ [mm] (-3x^3+3):(x-1)=-3x^2 [/mm] $
zu berechnen:
[mm] $(-3x^3+3):(x-1)$ $=\,$ $-3x^2$+ [/mm] ...
[mm] -(-3x^3+3x^2)
[/mm]
----------
[mm] -3x^2+3
[/mm]
Natürlich kannst Du weiter Polynomdivision betreiben, aber wenn
Du Dir mal
[mm] $-3x^2+3=-3*(x^2-1)=-3*(x+1)*(x-1)$
[/mm]
klarmachst (3. bin. Formel!), dann siehst Du
[mm] ...=$(-3x^2+3)/(x-1)=-3*(x+1)=-3x-3\,.$
[/mm]
Also
[mm] $(-3x^3+3)$ [/mm] : [mm] $(x-1)\,$ $=\,$ $-3x^2-3x-3\,.$
[/mm]
Generell kann man sich auch
[mm] $a^n-b^n=(a-b)*\sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k}$
[/mm]
herleiten.
Dort steckt die 3. binomische insbesondere mit drin:
[mm] $a^2-b^2=(a-b)*\sum_{k=0}^1 a^k b^{1-k}=(a-b)*(a^0b^1+a^1b^0)=(a-b)*(b+a)=(a+b)*(a-b)\,.$
[/mm]
Bei Dir oben:
[mm] $-3x^3+3=-3*(x^3-1)$
[/mm]
und dann letzte Formel auf
[mm] $a^n-b^n=x^3-1=x^3-1^3$
[/mm]
anwenden, also [mm] $a:=x\,,$ $b:=1\,$ [/mm] und [mm] $n:=3\,$ [/mm] betrachten!
> Aber um jetzt wieder zur lokalen Änderungsrate zurück zu
> kommen...wie geht es jetzt weiter? Bzw wie schreib ich
> dieses Ergebnis der Polynomdivison in den Zähler um im
> Nenner mit der (x-1) kürzen zu können?
Ich kenne die Definitionen von "lokaler Änderungsrate" nicht im Detail,
kannst Du das mal dazuschreiben, was ihr damit genau meint? (Also
alle Begriffe, die in der Aufgabenstellung auftauchen!)
Aber der Sinn der Polynomdivsion
[mm] $f(x):(x-x_0)=g(x)\,,$
[/mm]
ist es doch, dass man
[mm] $f(x)=g(x)*(x-x_0)$
[/mm]
schreibt.
Es ist dann also
[mm] $\frac{f(x)}{x-x_0}=g(x)\,,$
[/mm]
nichts anderes sagt doch gerade die Polynomdivision (wenn [mm] $x_0$ [/mm] Nullstelle
von [mm] $f\,$ [/mm] ist und [mm] $f\,$ [/mm] ein Polynom, "wird sie aufgehen", d.h., dass dann
[mm] $g\,$ [/mm] auch eine Polynomfunktion sein wird - zu der man auch noch mehr
sagen könnte...)
Unnötig, aber möglich, wäre es auch, das wie folgt einzusehen:
[mm] $\frac{f(x)}{x-x_0}=\frac{g(x)*\red{(x-x_0)}}{\red{x-x_0}}=g(x)$
[/mm]
(für $x [mm] \not=x_0$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 So 21.09.2014 | | Autor: | NinaAK13 |
Vielen Dank für die super ausführliche Antwort! Ich hoffe, dass ich das jetzt richtig verstanden habe :P
Zur Änderungsrate kann ich leider selbst nicht mehr sagen, da ich noch kein Schulbuch habe und wir das Thema gerade erst Angefangen haben...das tut mir leid!
Viele Grüße, Nina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die super ausführliche Antwort! Ich
> hoffe, dass ich das jetzt richtig verstanden habe :P
> Zur Änderungsrate kann ich leider selbst nicht mehr
> sagen, da ich noch kein Schulbuch habe und wir das Thema
> gerade erst Angefangen haben...das tut mir leid!
okay, ich dachte mir auch das, was bei Wikipedia steht (andere Antwort
meinerseits) - aber ich benutze diese Begriffe eigentlich nie.
Das, was bei Wikipedia steht, würde aber zu Deiner Rechnung passen,
jedenfalls modulo ein paar Verifikationen. 
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 So 21.09.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Vielen lieben Dank:)
> Das Ergebnis der Polynomdivison ist jetzt [mm]-3x^2+3x-3[/mm]
Wie Marcel schon angemerkt hat, hast du hier einen Vorzeichenfehler.
Im ersten Posting gibst du allerdings noch an, die Funktion sei [mm] $f(x)=-3x^2+4$. [/mm] Ich nehme an das war ein Tippfehler und sollte [mm] $f(x)=-3x^3+4$ [/mm] lauten.
> Aber um jetzt wieder zur lokalen Änderungsrate zurück zu
> kommen...wie geht es jetzt weiter? Bzw wie schreib ich
> dieses Ergebnis der Polynomdivison in den Zähler um im
> Nenner mit der (x-1) kürzen zu können?
Den Nenner allein "kürzt" man nicht und von welchem Bruch sprichst du eigentlich?
Ich nehme an, ihr seid gerade dabei, aufs Differenzieren loszusteuern und du sollst die lokale Änderungsrate in [mm] x_0 [/mm] mittels
[mm] $\limes_{x\rightarrow x_0}\br{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
[/mm]
berechnen. Du hast vorhin fälschlicherweise von limes x gegen Unendlich geschrieben.
Du hast mittels deiner Polynomdivision bereits
[mm] $\limes_{x\rightarrow 1}\br{f(x)-f(1)}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1}\br{-x^3+3}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1}\left({-3x^2-3x-3}\right)$
[/mm]
erhalten und jetzt sollte es dir auch ohne Kenntnisse über Grenzwerte möglich sein, diesen zu berechnen.
Gruß RMix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie für die Funktion f die durchschnittliche
> Änderungsrate auf dem Intervall I=[a;b] sowie die lokale
> Änderungsrate in der Intervallmitte.
> Hallo,
> Ich wollte gerade die lokale Änderungsrate der
> Intervallmitte berechnen, komme aber nicht weiter...bitte
> um Hilfe!
> Die Funktion f ist: f [mm](x)=-3x^2+4[/mm]
> Intervall : I=[-1;3]
ich hab' mal "gewikipediat":
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84nderungsrate
Die durchschnittliche Änderungsrate berechnet sich dann hier doch gemäß
[mm] $\frac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}=\frac{1}{4}(f(3)-f(-1))\,.$
[/mm]
Da ist ja nicht mehr viel zu tun.
Die lokale Änderungsrate in der Intervallmitte wäre
[mm] $f\,'(\tfrac{3+(-1)}{2})=f\,'(1)\,.$
[/mm]
Falls ihr [mm] $f\,'$ [/mm] (hier) noch nicht *einfach* berechnen könnt:
[mm] $f\,'(1)=\lim_{1 \not=x \to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$
[/mm]
wäre zu berechnen.
Dein Ansatz, für $x [mm] \not=1$
[/mm]
[mm] $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$
[/mm]
"zu vereinfachen", ist hier okay (es gibt Situationen, wo das nicht so klar
ist - und ich glaube auch nicht, dass Dir das wirklich klar ist, dass das hier
so aufgehen wird).
Aber was bei Dir $x [mm] \to \infty$ [/mm] sollte, weiß ich nicht. Du musst nachher dann
$x [mm] \to [/mm] 1$ laufen lassen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S.
> Berechnen Sie für die Funktion f die durchschnittliche
> Änderungsrate auf dem Intervall I=[a;b] sowie die lokale
> Änderungsrate in der Intervallmitte.
> Hallo,
> Ich wollte gerade die lokale Änderungsrate der
> Intervallmitte berechnen, komme aber nicht weiter...bitte
> um Hilfe!
> Die Funktion f ist: f [mm](x)=-3x^2+4[/mm]
> Intervall : I=[-1;3]
Also wie gesagt:
> Meine bisherige Rechnung:
> X0= (-1+3)/(2)=1
> Lim (x gegen unendlich)
Warum $x [mm] \to \infty$?
[/mm]
> (f (x)-f
> [mm](1))/x-1=((-3x^3+4)-(3*1^3+4))/x-1[/mm]
Da gehört überall [mm] $\red{(}x-1\red{)}$ [/mm] hin; im "Nenner". Wenn Du
[mm] $a/b+c\,$
[/mm]
schreibst, bedeutet das [mm] $\frac{a}{b}+c\,.$
[/mm]
Auch, wenn nicht immer alle drauf achten und man manchmal auch sagt,
dass aus dem Zusammenhang doch klar wäre, das was anderes gemeint
ist. Man soll doch eher schreiben, was man meint, als was zu schreiben, zu
dem man hinterher noch sagen muss, dass man was anderes meint...
Gruß,
Marcel
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