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Guten Abend euch allen !
Ich habe ich wieder mal eine Aufgabe von denen ich einen Haufen habe und die ich nicht verstehe bzw. rechnen kann. Der Prof macht das echt so kompliziert/abstrakt und keine richtigen Beispiele. So weiß ich nie wie man "neue" Aufgabentypen rechnet.
Hier ist eine:
Bestimme die lokalen Maxima der Funktion g: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] g(x,y)=sin x sin y.
Würde mich über Hilfe freuen bzw. wenn mir einer zeigt wie das geht.
Danke danke!
Jetzt gute Nacht euch allen.
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Hallo!
Diese Aufgabe löst man in zwei Schritten:
1. Bilde den Gradienten von $f$ (also [mm] $\mathrm{grad}\,f(x,y)=\left(\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y),\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)$, [/mm] wobei das erste die (partielle) Ableitung von $f$ nach $x$ ist). Setze diesen Gradienten gleich $0$ und löse das Gleichungssystem. So erhältst du Kandidaten für Extrema.
2. Jetzt musst du überprüfen, welche dieser Kandidaten Maxima sind. Wie man das am besten macht, hängt davon ab, was ihr in der Vorlesung gemacht habt. Hattet ihr schon den Satz, dass in [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] ein Maximum gerade dann vorliegt, wenn [mm] $\mathrm{grad}\, f(x_0,y_0)=(0,0)$ [/mm] und [mm] $D^2f(x_0,y_0)$ [/mm] (also die Hessematrix - bzw. zweite Ableitung - von $f$ an der Stelle [mm] $(x_0,y_0)$) [/mm] negativ definit ist? Ansonsten musst du eine kleine Umgebung der Punkte betrachten...
Gruß, banachella
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Hallo,
danke dir für die Erklärung.
Wenn ich nach x ableite, bleibt siny ja konstant und umgekehrt.
Dann habe ich
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=cosxsiny
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=sinxcosy
[/mm]
Ist das richtig bisher?
Denn ich frag mich wenn ich jetzt
cosxsiny=0 für [mm] x=\bruch{1}{2}\pi \vee [/mm] y=0
sinxcosy=0 für x=0 [mm] \vee y=\bruch{1}{2}\pi
[/mm]
setze, sind x und y jeweils nur vertauscht.
Habe ich da was falsch gemacht?
zu 2.
von der hessematrix habe ich in der Vorlesung noch nichts gehört.
Was meinst du mit Umgebung der Punkte? Das wären in dem Fall die x und y Werte die die Gleichung =0 erfüllen?
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Hallo Prinzessin,
> Dann habe ich
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=cosxsiny[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=sinxcosy[/mm]
>
> Ist das richtig bisher?
Das ist richtig. Zu beachten ist der Definitionsbereich. Ist deren Intervall größen, so gibt es auch mehr Nullstellen der partiellen Ableitungen.
> Denn ich frag mich wenn ich jetzt
> cosxsiny=0 für [mm]x=\bruch{1}{2}\pi \vee[/mm] y=0
> sinxcosy=0 für x=0 [mm]\vee y=\bruch{1}{2}\pi[/mm]
> setze, sind x
> und y jeweils nur vertauscht.
> Habe ich da was falsch gemacht?
Das ist auch richtig,
Nun hast Du die Paare [mm]\left( {0,\;0} \right),\;\left( {0,\;\frac{\pi }
{2}} \right),\;\left( {\frac{\pi }
{2},\;0} \right),\;\left( {\frac{\pi }
{2},\;\frac{\pi }
{2}} \right)[/mm] als Kandidaten für ein Extremum zu untersuchen.
>
> zu 2.
> von der hessematrix habe ich in der Vorlesung noch nichts
> gehört.
Die Hesse-Matrix lautet ja
[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c}
{f_{xx} } & {f_{xy} } \\
{f_{xy} } & {f_{yy} } \\
\end{array} } \right)[/mm]
Diese muß definit sein. Hier bedeutet das:
[mm]\left( {f_{xx} \;f_{yy} \; - \;\left( {f_{xy} } \right)^{2} } \right)\;\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right) > \;0[/mm]
sowie [mm]f_{xx}[/mm] und [mm]f_{yy}[/mm] haben das gleiche Vorzeichen. Ist [mm]f_{xx} \;>\;0[/mm] so liegt ein Minimum vor.
Ist [mm]f_{xx} \;<\;0[/mm] so liegt ein Maximum vor.
> Was meinst du mit Umgebung der Punkte? Das wären in dem
> Fall die x und y Werte die die Gleichung =0 erfüllen?
Setze die Paare (x,y) in die Hesse-Matrix ein.
Gruß
MathePower
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Dir auch ein liebes Dankeschön MathePower!
Also sieht die Hesse-Matrix hier so aus?
$ [mm] \left( {\begin{array}{\cdot{}{20}c} {f_{xx} } & {f_{xy} } \\ {f_{xy} } & {f_{yy} } \\ \end{array} } \right) [/mm] $
Einsetzen:
$ [mm] \left( {\begin{array}{\cdot{}{20}c} {(0,0) } & {(\bruch{\pi}{2},0) } \\ {(0,\bruch{\pi}{2}) } & {(\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}) } \\ \end{array} } \right) [/mm] $
Jetzt hier einsetzen ?
$ [mm] \left( {f_{xx} \;f_{yy} \; - \;\left( {f_{xy} } \right)^{2} } \right)\;\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right) [/mm] > [mm] \;0 [/mm] $
Wie funktioniert es hier? Ich habe ja nur ein [mm] f_{xx} [/mm] und [mm] f_{yy} [/mm] ?
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Hallo Prinzessin,
> Also sieht die Hesse-Matrix hier so aus?
>
> [mm]\left( {\begin{array}{\cdot{}{20}c} {f_{xx} } & {f_{xy} } \\ {f_{xy} } & {f_{yy} } \\ \end{array} } \right)[/mm]
>
> Einsetzen:
> [mm]\left( {\begin{array}{\cdot{}{20}c} {(0,0) } & {(\bruch{\pi}{2},0) } \\ {(0,\bruch{\pi}{2}) } & {(\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}) } \\ \end{array} } \right)[/mm]
>
> Jetzt hier einsetzen ?
> [mm]\left( {f_{xx} \;f_{yy} \; - \;\left( {f_{xy} } \right)^{2} } \right)\;\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right) > \;0[/mm]
>
> Wie funktioniert es hier? Ich habe ja nur ein [mm]f_{xx}[/mm] und
> [mm]f_{yy}[/mm] ?
die partiellen Ableitungen müssen schon gebildet werden. Und dann kannst Du die (x,y)-Werte einsetzen.
[mm]\begin{array}{l}
f_{xx} \; = \; - \;\sin \;x\;\sin \;y \\
f_{xy} \; = \;\cos \;x\;\cos \;y \\
f_{yy} \; = \; - \;\sin \;x\;\sin \;y \\
\end{array}[/mm]
Also hier:
[mm]
\begin{array}{l}
f_{xx} \;f_{yy} \; - \;\left( {f_{xy} } \right)^2 \\
= \left( { - \;\sin \;x\;\sin \;y} \right)^2 \; - \;\left( {\cos \;x\;\cos \;y} \right)^2 \\
= \;\left( {\sin x\;\sin \;y\; + \;\cos \;x\;\cos \;y} \right)\;\left( {\sin x\;\sin \;y\; - \;\cos \;x\;\cos \;y} \right) \\
= \; - \;\cos (x\; - \;y)\;\cos (x\; + \;y) \\
\end{array}
[/mm]
In diese Formel werden dann die x und y-Werte eingesetzt.
Gruß
MathePower
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Hallo Mathepower,
danke danke nochmal!!
Wenn ich Paar (0,0) einsetze, habe ich
-cos(x-y)cos(x+y)
=-cos(0)cos(0)
=-1
Ist das bei (0,0) dann ein Minimum?
Was mich grad verwirrt ist, dass du geschrieben hast für
[mm] f_{xx} [/mm] > 0 Minimum
[mm] f_{xx} [/mm] < 0 Maximum
Für das Paar [mm] (\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] =-cos(0)cos(\pi)
[/mm]
[mm] =-cos(\pi)
[/mm]
Für das Paar [mm] (\bruch{\pi}{2},0)
[/mm]
[mm] =-cos(\bruch{\pi}{2})cos(\bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] =-cos(\bruch{\pi}{2})^2
[/mm]
[mm] =-cos(\bruch{\pi}{4})
[/mm]
Für das Paar [mm] (0,\bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] =-cos(-\bruch{\pi}{2})cos(\bruch{\pi}{2})
[/mm]
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Hallo Prinzessin,
> Wenn ich Paar (0,0) einsetze, habe ich
>
> -cos(x-y)cos(x+y)
> =-cos(0)cos(0)
> =-1
>
> Ist das bei (0,0) dann ein Minimum?
Nein.
Ich habe noch einmal nachgeschaut, wenn [mm]f_{xx} \;f_{yy} \; - \;\left( {f_{xy} } \right)^{2} \; < \;0[/mm] ist, dann liegt ein Sattel- oder Jochpunkt vor.
Für [mm]f_{xx} \;f_{yy} \; - \;\left( {f_{xy} } \right)^{2} \; = \;0[/mm] kann nicht entschieden werden, ob ein Extremum oder nicht vorhanden ist.
>
> Was mich grad verwirrt ist, dass du geschrieben hast für
> [mm]f_{xx}[/mm] > 0 Minimum
> [mm]f_{xx}[/mm] < 0 Maximum
>
Das gilt ja nur wenn für den Fall, wenn [mm]f_{x} \; = \;0[/mm], [mm]
f_{y} \; = \;0[/mm] und [mm]f_{xx} \;f_{yy} \; - \;\left( {f_{xy} } \right)^{2} \; > \;0[/mm] erfüllt ist.
> Für das Paar [mm](\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2})[/mm]
> [mm]=-cos(0)cos(\pi)[/mm]
> [mm]=-cos(\pi)[/mm]
>
> Für das Paar [mm](\bruch{\pi}{2},0)[/mm]
> [mm]=-cos(\bruch{\pi}{2})cos(\bruch{\pi}{2})[/mm]
> [mm]=-cos(\bruch{\pi}{2})^2[/mm]
> [mm]=-cos(\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> Für das Paar [mm](0,\bruch{\pi}{2})[/mm]
> [mm]=-cos(-\bruch{\pi}{2})cos(\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
Interessant sind nur die Paare bei denen x und y jeweils ungleich 0 sind.
Gruß
MathePower
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> Hallo Prinzessin,
>
> > Wenn ich Paar (0,0) einsetze, habe ich
> >
> > -cos(x-y)cos(x+y)
> > =-cos(0)cos(0)
> > =-1
> >
> > Ist das bei (0,0) dann ein Minimum?
>
> Nein.
>
> Ich habe noch einmal nachgeschaut, wenn [mm]f_{xx} \;f_{yy} \; - \;\left( {f_{xy} } \right)^{2} \; < \;0[/mm]
> ist, dann liegt ein Sattel- oder Jochpunkt vor.
>
Wie erkennt man dann ein Minimum?
>
> >
> > Was mich grad verwirrt ist, dass du geschrieben hast für
> > [mm]f_{xx}[/mm] > 0 Minimum
> > [mm]f_{xx}[/mm] < 0 Maximum
> >
>
> Das gilt ja nur wenn für den Fall, wenn [mm]f_{x} \; = \;0[/mm],
> [mm]
f_{y} \; = \;0[/mm] und [mm]f_{xx} \;f_{yy} \; - \;\left( {f_{xy} } \right)^{2} \; > \;0[/mm]
> erfüllt ist.
>
Aber dann gilt doch [mm] f_{xx} \;f_{yy} \; [/mm] - [mm] \;\left( {f_{xy} } \right)^{2} \; [/mm] = [mm] \;0 [/mm] ?
>
> Interessant sind nur die Paare bei denen x und y jeweils
> ungleich 0 sind.
Also keins von beiden (x,y) darf gleich 0 sein?
Das würde bedeuten, dass ich nur
[mm] (\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}) [/mm]
beachten muss??
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Hallo Prinzessin,
>
> Wie erkennt man dann ein Minimum?
>
Die Bedingungsgleichungen [mm]f_x \left( {x_{0,} \;y_{0} } \right)\; = \;f_y \left( {x_{0,} \;y_{0} } \right)\; = \;0,\;\left( {f_{xx} \;f_{yy} \; - \;\left( {f_{xy} } \right)^{2} } \right)\;\left( {x_{0,} \;y_{0} } \right)\; > \;0[/mm] müssen erfüllt sein. Darüber hinaus muß für ein Minimum [mm]\[
f_{xx} \left( {x_{0,} \;y_{0} } \right)\; > \;0,\;f_{yy} \left( {x_{0,} \;y_{0} } \right) > \;0[/mm] gelten
> > Interessant sind nur die Paare bei denen x und y jeweils
> > ungleich 0 sind.
>
> Also keins von beiden (x,y) darf gleich 0 sein?
> Das würde bedeuten, dass ich nur
> [mm](\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2})[/mm]
> beachten muss??
Ja, das bekommst Du aber erst heraus, wenn Du die Paare (x,y) untersuchst.
Gruß
MathePower
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Vielen Dank dir nochmal für deine Mühe!
> >
> > Wie erkennt man dann ein Minimum?
> >
>
> Die Bedingungsgleichungen [mm]f_x \left( {x_{0,} \;y_{0} } \right)\; = \;f_y \left( {x_{0,} \;y_{0} } \right)\; = \;0,\;\left( {f_{xx} \;f_{yy} \; - \;\left( {f_{xy} } \right)^{2} } \right)\;\left( {x_{0,} \;y_{0} } \right)\; > \;0[/mm]
> müssen erfüllt sein. Darüber hinaus muß für ein Minimum
> [mm]\[
f_{xx} \left( {x_{0,} \;y_{0} } \right)\; > \;0,\;f_{yy} \left( {x_{0,} \;y_{0} } \right) > \;0[/mm]
> gelten
>
Dann versuche ich das jetzt mal formall richtig hinzubekommen.
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=cosxsiny
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=sinxcosy
[/mm]
Paar (0,0):
[mm] f_{x}(0,0)=f_{y}(0,0)=0 [/mm] erfüllt.
-cos(x-y)cos(x+y)
=-cos(0)cos(0)
=-1 < 0
Also ist die Bedingung [mm] f_{xx} \;f_{yy} \; [/mm] - [mm] \;\left( {f_{xy} } \right)^{2} \; [/mm] > [mm] \;0 [/mm] nicht erfüllt.
Somit gibt es keine Extrema.
Paar [mm] (\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}):
[/mm]
[mm] f_{x}(\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2})=f_{y}(\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}) \not=0
[/mm]
nicht erfüllt...
Paar [mm] (\bruch{\pi}{2},0):
[/mm]
[mm] f_{x}(\bruch{\pi}{2},0)=0
[/mm]
[mm] f_{y}(\bruch{\pi}{2},0)\not=0
[/mm]
Paar [mm] (0,\bruch{\pi}{2}):
[/mm]
[mm] f_{x}(0,\bruch{\pi}{2})\not=0
[/mm]
auch nicht erfüllt.
Irgendwas stimmt da nicht ? Oder habe ich mich nur verrechnet??
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Hallo Prinzessin,
> Dann versuche ich das jetzt mal formall richtig
> hinzubekommen.
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=cosxsiny[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=sinxcosy[/mm]
>
> Paar (0,0):
> [mm]f_{x}(0,0)=f_{y}(0,0)=0[/mm] erfüllt.
>
> -cos(x-y)cos(x+y)
> =-cos(0)cos(0)
> =-1 < 0
>
> Also ist die Bedingung [mm]f_{xx} \;f_{yy} \;[/mm] - [mm]\;\left( {f_{xy} } \right)^{2} \;[/mm]
> > [mm]\;0[/mm] nicht erfüllt.
> Somit gibt es keine Extrema.
>
> Paar [mm](\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}):[/mm]
>
> [mm]f_{x}(\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2})=f_{y}(\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}) \not=0[/mm]
>
> nicht erfüllt...
>
> Paar [mm](\bruch{\pi}{2},0):[/mm]
> [mm]f_{x}(\bruch{\pi}{2},0)=0[/mm]
> [mm]f_{y}(\bruch{\pi}{2},0)\not=0[/mm]
>
> Paar [mm](0,\bruch{\pi}{2}):[/mm]
> [mm]f_{x}(0,\bruch{\pi}{2})\not=0[/mm]
> auch nicht erfüllt.
>
> Irgendwas stimmt da nicht ? Oder habe ich mich nur
> verrechnet??
>
Die Lösungen von [mm]f_{x} \; = \;0[/mm] und [mm]f_{y} \; = \;0[/mm] sind doch schon berechnet worden.
Gruß
MathePower
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Aua, das ist richtig peinlich.
Ich erkläre es mir nur so, dass ich
1. darin keine Übung habe
2. bisher anscheinand nicht davon viel verstehe was und warum ich das mache...
Also ich komme zu meinem nächsten Versuch.
Es muss also immer gelten (egal ob bei Maximum oder Minimum) ?:
$ [mm] \left( {f_{xx} \;f_{yy} \; - \;\left( {f_{xy} } \right)^{2} } \right)\;\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right) [/mm] > [mm] \;0 [/mm] $
Und wenn es sich um ein Minimum handelt muss noch gelten:
$ [mm] \[ f_{xx} \left( {x_{0,} \;y_{0} } \right)\; [/mm] > [mm] \;0,\;f_{yy} \left( {x_{0,} \;y_{0} } \right) [/mm] > [mm] \;0 [/mm] $
Und wenn es sich um ein Maximum handelt:
$ [mm] \[ f_{xx} \left( {x_{0,} \;y_{0} } \right)\; [/mm] < [mm] \;0,\;f_{yy} \left( {x_{0,} \;y_{0} } \right) [/mm] < [mm] \;0 [/mm] $
Richtig? Weil wenn ich das wieder falsch habe, dann ist das was jetzt kommt wieder völliger Quatsch.
Jetzt muss ich die x und y Werte (Paare) hier einsetzen:
$ [mm] \begin{array}{l} f_{xx} \;f_{yy} \; - \;\left( {f_{xy} } \right)^2 \\ = \left( { - \;\sin \;x\;\sin \;y} \right)^2 \; - \;\left( {\cos \;x\;\cos \;y} \right)^2 \\ = \;\left( {\sin x\;\sin \;y\; + \;\cos \;x\;\cos \;y} \right)\;\left( {\sin x\;\sin \;y\; - \;\cos \;x\;\cos \;y} \right) \\ = \; - \;\cos (x\; - \;y)\;\cos (x\; + \;y) \\ \end{array} [/mm] $
Das habe ich in meinem "Rechenversuch" berechnet.
Ich zitiere mal:
> Wenn ich Paar (0,0) einsetze, habe ich
>
> -cos(x-y)cos(x+y)
> =-cos(0)cos(0)
> =-1
>
> Ist das bei (0,0) dann ein Minimum?
>
> Was mich grad verwirrt ist, dass du geschrieben hast für
> [mm]f_{xx}[/mm] > 0 Minimum
> [mm]f_{xx}[/mm] < 0 Maximum
>
> Für das Paar [mm](\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2})[/mm]
> [mm]=-cos(0)cos(\pi)[/mm]
> [mm]=-cos(\pi)[/mm]
>
> Für das Paar [mm](\bruch{\pi}{2},0)[/mm]
> [mm]=-cos(\bruch{\pi}{2})cos(\bruch{\pi}{2})[/mm]
> [mm]=-cos(\bruch{\pi}{2})^2[/mm]
> [mm]=-cos(\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> Für das Paar [mm](0,\bruch{\pi}{2})[/mm]
> [mm]=-cos(-\bruch{\pi}{2})cos(\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
Demnach habe ich nur negative Ergebnisse, wo kein Paar
$ [mm] \left( {f_{xx} \;f_{yy} \; - \;\left( {f_{xy} } \right)^{2} } \right)\;\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right) [/mm] > [mm] \;0 [/mm] $ erfüllt.
Habe ich einfach nur Rechenfehler drin oder soll das ganz anders gerechnet werden?
Ich weiß, dass ich quirllig bin und sogar nerve, weil du es ja schon alles erklärt hast. Mich bringt das alles etwas durcheinander und hinzu kommt dazu dass ich mit sowas noch nie gerechnet habe...
Vielen Dank dir dafür!
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Hallo Prinzessin,
> Es muss also immer gelten (egal ob bei Maximum oder
> Minimum) ?:
> [mm]\left( {f_{xx} \;f_{yy} \; - \;\left( {f_{xy} } \right)^{2} } \right)\;\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right) > \;0[/mm]
>
> Und wenn es sich um ein Minimum handelt muss noch gelten:
> [mm]\[ f_{xx} \left( {x_{0,} \;y_{0} } \right)\; > \;0,\;f_{yy} \left( {x_{0,} \;y_{0} } \right) > \;0[/mm]
>
> Und wenn es sich um ein Maximum handelt:
> [mm]\[ f_{xx} \left( {x_{0,} \;y_{0} } \right)\; < \;0,\;f_{yy} \left( {x_{0,} \;y_{0} } \right) < \;0[/mm]
>
Das ist alles richtig.
> Jetzt muss ich die x und y Werte (Paare) hier einsetzen:
> [mm]\begin{array}{l} f_{xx} \;f_{yy} \; - \;\left( {f_{xy} } \right)^2 \\ = \left( { - \;\sin \;x\;\sin \;y} \right)^2 \; - \;\left( {\cos \;x\;\cos \;y} \right)^2 \\ = \;\left( {\sin x\;\sin \;y\; + \;\cos \;x\;\cos \;y} \right)\;\left( {\sin x\;\sin \;y\; - \;\cos \;x\;\cos \;y} \right) \\ = \; - \;\cos (x\; - \;y)\;\cos (x\; + \;y) \\ \end{array}[/mm]
>
> Das habe ich in meinem "Rechenversuch" berechnet.
> Ich zitiere mal:
>
> > Wenn ich Paar (0,0) einsetze, habe ich
> >
> > -cos(x-y)cos(x+y)
> > =-cos(0)cos(0)
> > =-1
> >
> > Ist das bei (0,0) dann ein Minimum?
> >
> > Was mich grad verwirrt ist, dass du geschrieben hast für
> > [mm]f_{xx}[/mm] > 0 Minimum
> > [mm]f_{xx}[/mm] < 0 Maximum
> >
> > Für das Paar [mm](\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2})[/mm]
> > [mm]=-cos(0)cos(\pi)[/mm]
> > [mm]=-cos(\pi)[/mm]
> >
> > Für das Paar [mm](\bruch{\pi}{2},0)[/mm]
> > [mm]=-cos(\bruch{\pi}{2})cos(\bruch{\pi}{2})[/mm]
> > [mm]=-cos(\bruch{\pi}{2})^2[/mm]
> > [mm]=-cos(\bruch{\pi}{4})[/mm]
> >
> > Für das Paar [mm](0,\bruch{\pi}{2})[/mm]
> > [mm]=-cos(-\bruch{\pi}{2})cos(\bruch{\pi}{2})[/mm]
> >
>
> Demnach habe ich nur negative Ergebnisse, wo kein Paar
> [mm]\left( {f_{xx} \;f_{yy} \; - \;\left( {f_{xy} } \right)^{2} } \right)\;\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right) > \;0[/mm]
> erfüllt.
> Habe ich einfach nur Rechenfehler drin oder soll das ganz
> anders gerechnet werden?
>
Für das Paar [mm](\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2})[/mm] ist der Ausdruck [mm]\left( {f_{xx} \;f_{yy} \; - \;\left( {f_{xy} } \right)^{2} } \right)\;\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right) > \;0[/mm] und [mm]\[ f_{xx} \left( {x_{0,} \;y_{0} } \right)\; < \;0,\;f_{yy} \left( {x_{0,} \;y_{0} } \right) < \;0[/mm]. Somit ist das ein Maximum.
Die Paare, bei denen der Ausdruck [mm]\left( {f_{xx} \;f_{yy} \; - \;\left( {f_{xy} } \right)^{2} } \right)\;\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right) < \;0[/mm] ist, sind Sattel- oder Jochpunkte.
> Ich weiß, dass ich quirllig bin und sogar nerve, weil du es
> ja schon alles erklärt hast. Mich bringt das alles etwas
> durcheinander und hinzu kommt dazu dass ich mit sowas noch
> nie gerechnet habe...
Aller Anfang ist schwer.
Gruß
MathePower
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Hallo,
vielen vielen besonderen dank dir zuerst mal. Ist echt toll wie viel "Ausdauer" du mit mir hattest!
Ich habe die ganze Zeit nicht mit "Rad" gerechnet.
Eben habe ich es nochmal für das Paar [mm] (\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}) [/mm] probiert wo ich ja habe:
[mm] =-cos(\pi)
[/mm]
=-(-1)=1>0
Wie du sagtest hängen die Nullstellen vom Definitionsbereich ab.
Denn [mm] \bruch{3}{2}\pi [/mm] wäre auch eine.
Also ist das im Definitionsbereich [mm] D(0;\pi)
[/mm]
Vielen dank!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:05 Do 02.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Prinzessin!
> Denn [mm]\bruch{3}{2}\pi[/mm] wäre auch eine.
> Also ist das im Definitionsbereich [mm]D(0;\pi)[/mm]
Wurde Dir dieser Bereich als Definitionsbereich vorgegeben?
Dann ist [mm]\bruch{3}{2}\pi[/mm] aber nicht im Definitionsbereich enthalten.
Schließlich gilt ja: [mm]\bruch{3}{2}\pi \ > \ 1*\pi \ = \ \pi[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
uns wurde kein Definitionsbereich angegeben. Dann muss ich eigentlich davon ausgehen dass ich alle angeben muss, also [mm] \bruch{\pi}{2}+\pi+\pi....
[/mm]
Aber das muss ich doch dann allgemein angeben denke ich, da es ja unendlich viele gibt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Prinzessin!
Dann sind die lokalen Maxima genau bei
[mm] $\left\{ \left( \left( \frac{1}{2}+k \right)\pi,\left( \frac{1}{2}+l \right)\pi \right) \, : \, k,l \in \IZ\, , \, k-l \in 2\IZ \right\}$.
[/mm]
Ist ja auch klar:
Das sind genau die Paare $(x,y) [mm] \in \IR^2$, [/mm] für die [mm] $\sin(x)\sin(y)=1$ [/mm] gilt...
Viele Grüße
Julius
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Danke auch dir Julius!
Ich habe mir die Funktionen sin und cos angeschaut. Und hab jetzt das mit den Nullstellen/Paaren begriffen.
Danke euch allen nochmal!!!
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