(lokale) Lipschitzstetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 So 01.02.2009 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | 1. Es sei f(x,y) = [mm] \sqrt{y}. [/mm] Dann genügt f auf [mm] \mathbb [/mm] R [mm] \times [/mm] (0,1) einer lokalen Lipschitzbedingung. Richtig oder falsch?
2. Es sei f(x,y) = [mm] \sqrt{y}. [/mm] Dann genügt f auf [mm] \mathbb [/mm] R [mm] \times [/mm] (0,1) einer Lipschitzbedingung. Richtig oder falsch?
3.Es sei f(x,y) = [mm] \sqrt{|y|}. [/mm] Dann genügt f auf [mm] \mathbb [/mm] R [mm] \times [/mm] (-1,1) einer lokalen Lipschitzbedingung. Richtig oder falsch? |
1. Ist richtig und folgt angeblich aus dem Mittelwertsatz...Warum? Ich habe keinen blassen Schimmer.
2. Ist falsch. Lösung:
für y= 0.25x gilt
[mm] |\sqrt{x}-\sqrt{y}|=0.5\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot [/mm] x = [mm] \frac{2}{3\sqrt{x}}|x-y|
[/mm]
Verstehe ich leider auch nicht. Wenn ich das richtig sehe ist f(x,y) ja eine Funktion, die einfach nur die Wurzel ihres zweiten Parameters zurückgibt.
Der Ansatz für "normale" Funktionen bei Lipschitzstetigkeit lautet doch:
|f(x)-f(y)|. Wie ist das bei zweidimensionalen?
Sowas? [mm] |f(x,y^{\star})-f(x,y)|?
[/mm]
Heißt das, die haben hier [mm] y^{\star}=x [/mm] und y=0.25x gewählt?
Der letzte Umformungsschritt ist mir jedoch auch so nicht klar.
3. Ist vermutlich ein ähnliches Problem.
Lösung:
Falsch. für y=0 und 0 [mm] \neq [/mm] x [mm] \in [/mm] (0,1) gilt
[mm] |\sqrt{x}-\sqrt{y}| [/mm] = [mm] \sqrt{x} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot [/mm] x = [mm] \frac{1}{\sqrt{x}}|x-y|
[/mm]
tja...verstehe ich das gleiche wie bei der 2. nicht.
Damit wär mir sicherlich schon viel geholfen, wenn ihr mir erklären könntet, wie das mit Lipschitzstetigkeit und mehrdimensionalen Funktionen funktioniert..
Dankesehr!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Mo 02.02.2009 | | Autor: | alexwie |
Hi
Erst mal eine Vorbemerkung: Dass die Funktion auf [mm] $\IR \times [/mm] irgendwas$ definiert ist sollte dich nicht verwirren. Betrachte sie nur als Funktion in y.
Zu a): lokal lipschitzstetig heißt doch dass es zu jedem element des Definitionsbereichs eine Umgebung gibt, so dass die Funktion dort einer Lipschitzbedingung genügt. Also betrachte:
| f(x,y) - [mm] f(x,y+\varepsilon) [/mm] | = | [mm] \wurzel{y} [/mm] - [mm] \wurzel{y+\varepsilon} [/mm] | = (Mittelwertsatz) = [mm] |\bruch{1}{2\wurzel{\xi}}||y [/mm] - [mm] (y+\varepsilon)| [/mm] mit [mm] \xi \in [y,y+\varepsilon]. [/mm] Wähle epsilon dann so klein, dass dieses intervall ganz in (0,1) liegt. Auf [mm] [y,y+\varepsilon] [/mm] ist [mm] |\bruch{1}{2\wurzel{\xi}}| [/mm] beschränkt. Also Lässt sich das nach oben abschätzen und du hast ne Lipschitzkonstante für eine Umgebung ( eigentlich müsstest du das selbe noch mal für [mm] -\varepsilon [/mm] machen, dann ist [mm] [y-\varepsilon, y+\varepsilon] [/mm] wirklich eine umgebung von y.)
Zu b) Die Notation ist hier tatsächlich etwas dumm. Also ersetzte das x wirklich durh dein y*. So ists dann richtig. Die Umformungen sin nicht so schwer, es wird halt die ganze zeit y durch 0,25x (oder halt besser 0,25y*) ersetzt. Das Argument warum es jetzt nicht funktioniert ist, dass wenn es jetzt eine lipschitzkonstante L gäbe so könnte man x so wählen dass [mm] \bruch{2}{3\wurzel{x}} [/mm] > L ist und daher [mm] |\wurzel{y*} [/mm] - [mm] \wurzel{y}| [/mm] > L |y* - y|. Was ein widerspruch zur lipschitzsetigkeit ist. Das selbe Argument zieht auch bei c).
Lg alex
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