lokale Lipschitzstetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Do 26.08.2004 | | Autor: | BJJ |
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Hallo,
ich finde keinen Beweis in der Literatur, dass lokale Lipschitzstetigkeit unter Komposition und unter Linearkombination abgeschlossen ist, d.h. mit f und g sind auch f(g(x)) und af(x)+bg(x) lokal Lipschitzstetig. Ich halte den Beweis fuer einfach, bin aber unsicher, weil ich bisher nichts darueber gefunden habe.
Vielen Dank und viele Gruesse
7A3
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:15 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo BCC!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Es seien $U$, $V$ und $W$ normierte Räume und $f:U [mm] \to [/mm] V$, $g:V [mm] \to [/mm] W$ lokal Lipschitz-stetige Abbildungen.
Es sei [mm] $x_0 \in [/mm] U$ beliebig gewählt. Da $f$ lokal Lipschitz-stetig ist, gibt es eine offene Umgebung [mm] $O_1(x_0)$ [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] in $U$, so dass es eine Konstante [mm] $L_1>0$ [/mm] gibt, die für alle $x,x' [mm] \in O_1(x_0)$ [/mm] die Ungleichung
[mm] $\Vert [/mm] f(x) - f(x') [mm] \Vert_V \le L_1 \cdot \Vert [/mm] x- x' [mm] \Vert_U$
[/mm]
gewährleistet.
Weiterhin ist auch $g$ lokal Lipschitz-stetig, d.h. es gibt für [mm] $y_0:=f(x_0)$ [/mm] eine offene Umgebung [mm] $O_2(y_0)$, [/mm] so dass es eine Kosntante [mm] $L_1>0$ [/mm] gibt, die für alle $y,y' [mm] \in O_2(y_0)$ [/mm] die Ungleichung
[mm] $\Vert [/mm] g(y) - g(y') [mm] \Vert_W \le L_2 \cdot \Vert [/mm] y - y' [mm] \Vert_V$
[/mm]
gewährleistet.
Da $f$ als lokal Lipschitz-stetige Abbildung auch stetig ist (wenn dir das nicht klar ist, versuche es bitte zu zeigen), gibt es eine offene Umgebung [mm] $\tilde{O}_1(x_0)$ [/mm] mit
$f(x) [mm] \in O_2(y_0)$
[/mm]
für alle $x [mm] \in \tilde{O}_1(x_0)$. [/mm] Wir betrachten nun die offene Umgebung
[mm] $O(x_0):= O_1(x_0) \cap \tilde{O}_1(x_0)$ [/mm] von [mm] $x_0$.
[/mm]
Für alle $x,x' [mm] \in O(x_0)$ [/mm] gilt einerseits:
[mm] $\Vert [/mm] f(x) - f(x') [mm] \Vert_V \le L_1 \cdot \Vert [/mm] x - x' [mm] \Vert_U$,
[/mm]
und andererseits auch wegen $f(x),f(x') [mm] \in O_2(y_0)$:
[/mm]
[mm] $\Vert [/mm] g(f(x)) - g(f(x')) [mm] \Vert_W \le L_2 \cdot \Vert [/mm] f(x) - f(x') [mm] \Vert_V$.
[/mm]
Insgesamt folgt mit [mm] $L:=L_1 \cdot L_2>0$ [/mm] für alle $x [mm] \in O(x_0)$:
[/mm]
[mm] $\Vert [/mm] g(f(x)) - g(f(x')) [mm] \Vert_W \le L_2 \cdot \Vert [/mm] f(x) - f(x') [mm] \Vert_V \le L_2 \cdot L_1 \cdot \Vert [/mm] x - [mm] x'\Vert_U [/mm] = L [mm] \cdot \Vert [/mm] x - x' [mm] \Vert$, [/mm]
d.h. $g [mm] \circ [/mm] f$ ist lokal Lipschitz-stetig.
Jetzt seien $f : U [mm] \to [/mm] V$ und $g:U [mm] \to [/mm] V$ lokal Lischitz-stetig und $a,b [mm] \in \IR$.
[/mm]
Es sei [mm] $x_0 \in [/mm] U$ beliebig gewählt. Dann gibt es offene Umgebungen [mm] $O_1(x_0)$ [/mm] und [mm] $O_2(x_0)$ [/mm] von [mm] $x_0$, [/mm] so dass es eine Konstante [mm] $L_1>0$ [/mm] gibt, die für alle $x,x' [mm] \in O_1(x_0)$ [/mm] die Ungleichung
[mm] $\Vert [/mm] f(x) - f(x') [mm] \Vert_V \le L_1 \cdot \Vert [/mm] x - x' [mm] \Vert_U$
[/mm]
gewährleistet. Ebenso folgt für alle $x,x' [mm] \in O_2(x_0)$ [/mm] die Existenz einer Konstanten [mm] $L_2$ [/mm] mit
[mm] $\Vert [/mm] g(x) - g(x') [mm] \Vert_V \le L_2 \cdot \Vert [/mm] x - x' [mm] \Vert_U$.
[/mm]
Wir betrachten die offene Umgebung [mm] $O(x_0):=O_1(x_0) \cap O_2(x_0)$ [/mm] von [mm] $x_0$. [/mm] Dann gilt für alle $x,x' [mm] \in O(x_0)$:
[/mm]
[mm] $\Vert [/mm] (af+bg)(x) - (af+bg)(x') [mm] \Vert_V \le \vert [/mm] a [mm] \vert \cdot \Vert [/mm] f(x) - f(x') [mm] \Vert_V [/mm] + [mm] \vert b\vert \cdot \Vert [/mm] g(x) - [mm] g(x')\Vert_V \le \vert [/mm] a [mm] \vert \cdot L_1 \cdot \Vert [/mm] x - x' [mm] \Vert_U [/mm] + [mm] \vert [/mm] b [mm] \vert \cdot L_2 \cdot \Vert [/mm] x - x' [mm] \Vert_U \le [/mm] (|a| [mm] L_1 [/mm] + [mm] |b|L_2) \cdot \Vert [/mm] x - x' [mm] \Vert_U$,
[/mm]
d.h. $af+bg$ ist lokal Lipschitz-stetig.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:00 Fr 27.08.2004 | | Autor: | BJJ |
Hallo Stefan,
herzlichen Dank fuer deine Muehe. I
Gruss
bjj
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