lokale Extremwerte < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Sa 25.03.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Man bestimme sämtliche lokalen Extremwerte der folgenden Funktionen:
(i) f(x) = x + [mm] \bruch{1}{x} [/mm] (x ungleich 0)
(ii) f(x) = x [mm] ^{\bruch{1}{x}} [/mm] (x > 0) |
wär super, wenn ihr mir sagen könntet, ob das so richtig ist (vorallem häng ich noch bei der (ii)... ):
(i)
f'(x) = 1 - [mm] \bruch{1}{x²}
[/mm]
f''(x) = [mm] \bruch{1}{x^3}
[/mm]
f'''(x) = - [mm] \bruch{1}{x^4}
[/mm]
setze f'(x) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \pm [/mm] 1
f''(1) > 0 d.h. Min (1/2)
f''(-1) < 0 d.h. Max (-1/-2)
und wendepunkte gibts keine, oder??
(ii)
f'(x) = [mm] x^{-2 + \bruch{1}{x} } [/mm] (- [mm] \bruch{1}{x})+ [/mm] (1-ln(x))
damit f'(x) = 0 müsste ja dann
[mm] x^{-2+ \bruch{1}{x} } [/mm] = 0 (keine lösung) oder 1-ln(x)= 0 [mm] \gdw [/mm] ln(x) =1 (??)
und weiter komm ich nicht... *verzweifel*
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Bei (i) stimmen die Ableitungen nicht (Vorfaktoren). Die Fehler wirken sich glücklicherweise nicht auf das Ergebnis aus.
Bei (ii) habe ich als Ableitung
[mm]f'(x) = x^x \left( 1 + \ln{x} \right) \, , \ \ x>0[/mm]
Und hier ist die Nullstellenbestimmung wohl klar. Die Art des Extremums würde ich jedoch nicht mit Hilfe der höheren Ableitungen bestimmen, sondern ich würde mit dem (offensichtlichen) Vorzeichenwechsel von [mm]f'(x)[/mm] argumentieren.
EDIT
Entschuldigung für die Verwirrung! Ich habe wohl nicht aufgepaßt und tatsächlich [mm]f(x) = x^x[/mm] gelesen. Da es aber richtig [mm]f(x) = x^{\frac{1}{x}}[/mm] heißt, lautet natürlich die Ableitung [mm]f'(x) = x^{\frac{1}{x} - 2} \left( 1 - \ln{x} \right)[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:07 So 26.03.2006 | | Autor: | Riley |
DANKE für deine hilfe und verbesserung!*freu* den fehler bei (i) hab ich gefunden. wie kommst du auf dein ergebnis bei der (ii), irgendwie bekomm ich da immer was andres raus... ich poste mal meine zwischenschritte:
f(x) = [mm] e^{\bruch{1}{x}ln(x)}
[/mm]
f'(x) = [mm] x^{\bruch{1}{x}} [/mm] (- [mm] \bruch{1}{x²}ln(x)+ \bruch{1}{x²}) [/mm] = [mm] x^{\bruch{1}{x}} [/mm] (1-ln(x)) [mm] \bruch{1}{x²}
[/mm]
hab gedacht wenn ich das als "e hoch" umgeschrieben hab, mach ich die Kettenregel und dann Produktregel mim Exponent....??? aber das haut wohl doch nicht hin...??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:14 So 26.03.2006 | | Autor: | Strenni |
Hallo Riley,
ich denke, bei der Ableitung von (ii) kann ich Dir helfen:
f(x) [mm] =x^{\bruch{1}{x}} [/mm] | ln
ln f(x) = ln [mm] x^{\bruch{1}{x}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ln x
[mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{x} [/mm] ln x)' = [mm] (\bruch{ln x}{x})' [/mm] | Quotientenregel
[mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] = [mm] (\bruch{\bruch{1}{x} \* x - ln x}{x^{2}}) [/mm] | [mm] \* [/mm] f(x)
f'(x) = f(x) [mm] \* [/mm] ( [mm] \bruch{\bruch{1}{x} \* x - ln x}{x^{2}}) [/mm] | f(x) einsetzen
f'(x) = [mm] x^{\bruch{1}{x}} \* (\bruch{1 - ln x}{x^{2}})
[/mm]
Ich hoffe, ich hab mich nicht verrechnet, aber so würde ich an das Problem herangehen. ;)
Ciao, ciao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 So 26.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Riley!
Deine Ableitung einschließlich Rechenweg ist völlig richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 So 26.03.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Loddar!!
vielen dank dass dus dir durchgeschaut hast, dann bin ich ja beruhigt! ;)
um die extremwerte zu bekommen muss ich das ganze doch dann null setzen, d.h. entweder
(1.) [mm] x^{\bruch{1}{x}}=0 [/mm] v (2.) 1-ln(x)=0 v (3.) [mm] \bruch{1}{x²}=0 [/mm]
(3.) kann ja für kein x erfüllt sein, also x aus { }
(1.) auch nicht
(2.) ln(x) = 1
hm, oder hat die funktion gar keine extremwerte??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 So 26.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Riley!
Du bist doch auf einem guten Weg.
Die einzige (mögliche) Extremstelle resultiert also aus der Teilgleichung [mm] $1-\ln(x) [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 So 26.03.2006 | | Autor: | Riley |
ahh, okay, ich glaub ich habs *lichtaufgeh*
1-ln(x) = 0
ln(x) = 1 , d.h. x = e, oder??
und das extremum müsste ein hochpunkt sein, da f'(2) > 0 und f'(3)<0.
wie mach ich das eigentlich in ner klausur, hab das jetzt mim taschenrechner ausprobiert, dass 1-ln(2) > 0 und 1-ln(3)<0... aber wie kann ich das ohne taschenrechner rausbekommen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 So 26.03.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Riley,
[mm] \ln(x) [/mm] ist streng monoton (müsstest du wissen), daher ist [mm] ln(x_1)
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 So 26.03.2006 | | Autor: | Riley |
jaa stimmt. danke für deine erklärung!! ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:03 So 26.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Leopold!
Bei der 2. Aufgabe hast Du Dich wohl etwas verguckt, denn Deine Ableitung gehört zu der Funktion $f(x) \ = \ [mm] x^x$ [/mm] .
Gegeben war aber die Funktion $f(x) \ = \ [mm] x^{\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[x]{x}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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