lokale Extrema f(x,y) < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Fr 18.07.2008 | | Autor: | Di29 |
| Aufgabe | Es sei [mm] G=\left\{(x,y)\in \IR^2 | x^2+\bruch{y^2}{2}<1\right\} [/mm] und [mm] G\mapsto\IR [/mm] eine Funktion die in folgender Weise gegeben ist:
[mm] f(x,y)=x+\bruch{y}{2}+\wurzel{1-x^2-\bruch{y^2}{2}}, {(x,y)\in G} [/mm] .
Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von f. |
Ich habe jetzt die erste Ableitung gebildet, gleich 0 gesetzt und nach x und y aufgelöst.
Dabei habe ich erhalten [mm] y1/2=\pm\wurzel{\bruch{2}{5}}
[/mm]
und [mm] x1/2=\pm\wurzel{\bruch{2}{5}}
[/mm]
Soweit ist alles prima - allerdings hätte ich jetzt 4 kritische Punkte ermittelt.
Die Musterlösung sagt aber: "Da die Lösungen notwendigerweise nicht negative sind, ist [mm] (x_{0}, y_{0}=(\wurzel{\bruch{2}{5}}, \wurzel{\bruch{2}{5}}) [/mm] der einzige kritische Punkt."
Ich verstehe nicht, warum hier nur die nicht negativen Werte genommen werden. Liegt das an der Angabe f über G nach [mm] \IR [/mm] ?
Ich fürchte ich weiss nicht mehr genau was [mm] \IR [/mm] und was [mm] \IR^2 [/mm] bedeutet :-(
Ich hoffe mir kann jemand einen Tipp geben.
Danke schonmal im voraus.
Diana
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Wetten, daß du unterwegs zur Lösung Gleichungen quadriert hast? Das ist aber keine Äquivalenzumformung.
Beispiel:
[mm]x + 2 = 5[/mm] hat offensichtlich nur die Lösung 3.
[mm](x + 2)^2 = 5^2[/mm] hat dagegen die Lösungen 3 und -7.
Wenn man Gleichungen quadriert, können sich "falsche Lösungen" dazuschleichen. Daher unbedingt die Probe machen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Fr 18.07.2008 | | Autor: | Di29 |
Das stimmt. Quadriert habe ich. Ich verstehe auch das ich das Prüfen
muss, aber aufgrund der 2 Variablen weiss ich nicht so richtig
wo und wie.
Ich hätte ja an der letzten Gleichung vor dem Quadrieren die Probe
gemacht, aber wenn ich dort [mm] -\wurzel {\bruch{2}{5}} [/mm] einsetze ist
mir das irgendwie zu kompliziert.
Kann ich denn davon ausgehen, dass die negativen Wurzeln immer wegfallen, wenn ich quadriert habe?
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Hi,
> Das stimmt. Quadriert habe ich. Ich verstehe auch das ich
> das Prüfen
> muss, aber aufgrund der 2 Variablen weiss ich nicht so
> richtig
> wo und wie.
Setze die gefundenen Stellen in den Gradienten ein um zu überprüfen an welchen Stellen er wirklich Null wird.
>
> Ich hätte ja an der letzten Gleichung vor dem Quadrieren
> die Probe
> gemacht, aber wenn ich dort [mm]-\wurzel {\bruch{2}{5}}[/mm]
> einsetze ist
> mir das irgendwie zu kompliziert.
>
> Kann ich denn davon ausgehen, dass die negativen Wurzeln
> immer wegfallen, wenn ich quadriert habe?
Nein!
x + 2 = -5 [mm] \Rightarrow [/mm] x =-7
[mm] (x+2)^2 [/mm] = 25 [mm] \Rightarrow [/mm] x =3 , x=-7
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Fr 18.07.2008 | | Autor: | Di29 |
Hmh, also ich komme beim besten Willen nicht dahinter, was ich tun muss.
Da ich auch bei der weiteren Lösung Schwierigkeiten habe ( 2. Ableitung ist kein Problem, aber beim einsetzen des krit. Punktes in Hesse-Matrix mache ich wohl auch Fehler , werde ich diese Aufgabe als "für mich" unlösbar jetzt weglegen und andere Aufgabentypen lösen.
Trotzdem, vielen Dank für die Unterstützung.
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Zum Beispiel:
[mm]\frac{\partial f}{\partial x} \left( - \sqrt{\frac{2}{5}} , \sqrt{\frac{2}{5}} \right) = - \ \frac{- \sqrt{\frac{2}{5}}}{\sqrt{- \left( \sqrt{\frac{2}{5}} \right)^2 - \frac{1}{2} \cdot \left( \sqrt{\frac{2}{5}} \right)^2 + 1}} + 1 = \frac{\sqrt{\frac{2}{5}}}{\sqrt{- \frac{2}{5} - \frac{1}{5} + 1}} + 1 = \frac{\sqrt{\frac{2}{5}}}{\sqrt{\frac{2}{5}}} + 1 = 1 + 1 = 2[/mm]
Und das ist nun einmal nicht 0.
War das wirklich so schwer?
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