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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:31 Fr 06.05.2016 | | Autor: | studiseb |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion [mm] f:R^2 \to [/mm] R mit [mm] f(x,y)=(x^2+4y^2)*e^{(-4x^2-y^2)} [/mm] |
Guten Morgen zusammen, das Prinzip zur Berechnung von lokalen Extrema hab ich ich durchaus verstanden, ich hänge nur bei der eigentlichen Berechnung, vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen. DANKE!
notwendige Bedingung: grad f = 0
da für die partiellen Ableitungen gilt:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=e^{-4x^2-y^2}(2x-8x^3-32xy^2)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=e^{-4x^2-y^2}(8y-2x^2y-8y^3)
[/mm]
muss also gelten, dass
[mm] e^{-4x^2-y^2}(2x-8x^3-32xy^2)=0
[/mm]
[mm] e^{-4x^2-y^2}(8y-2x^2y-8y^3)=0
[/mm]
okay, [mm] e^{-4x^2-y^2} \not= [/mm] 0 ist klar, also muss ich nur noch folgendes Gleichungssystem lösen:
[mm] (2x-8x^3-32xy^2)=0
[/mm]
[mm] (8y-2x^2y-8y^3)=0
[/mm]
Dass (0,0) eine Lösung ist, liegt auf der Hand, aber gibt es noch weitere? Und wenn ja wie kann ich diese berechnen?
um das hinreichende Kriterium zu prüfen muss ich dann nur noch meine möglichen Extrema in die Hesse-Matrix einsetzen und gucken ob diese positiv, negativ oder indefinit ist.
Grüße Seb
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> Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion [mm]f:R^2 \to[/mm] R
> mit [mm]f(x,y)=(x^2+4y^2)*e^{(-4x^2-y^2)}[/mm]
> Guten Morgen zusammen, das Prinzip zur Berechnung von
> lokalen Extrema hab ich ich durchaus verstanden, ich hänge
> nur bei der eigentlichen Berechnung, vielleicht kann mir da
> jemand weiterhelfen. DANKE!
>
> notwendige Bedingung: grad f = 0
> da für die partiellen Ableitungen gilt:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=e^{-4x^2-y^2}(2x-8x^3-32xy^2)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=e^{-4x^2-y^2}(8y-2x^2y-8y^3)[/mm]
>
> muss also gelten, dass
> [mm]e^{-4x^2-y^2}(2x-8x^3-32xy^2)=0[/mm]
> [mm]e^{-4x^2-y^2}(8y-2x^2y-8y^3)=0[/mm]
>
> okay, [mm]e^{-4x^2-y^2} \not=[/mm] 0 ist klar, also muss ich nur
> noch folgendes Gleichungssystem lösen:
>
Hallo,
> [mm](2x-8x^3-32xy^2)=0[/mm]
<==> [mm] -2x*(4x^2+16y^2-1)=0
[/mm]
==>
A. x=0
oder
B. [mm] 4x^2=1-16y^2 [/mm] <==> [mm] x^2=0.25-4y^2
[/mm]
Einsetzen:
> [mm](8y-2x^2y-8y^3)=0[/mm]
Fall A (x=0):
[mm] 8y-8y^3=0 [/mm] <==> [mm] 8y(1-y^2)=0
[/mm]
==> y=0 oder y=1 oder y=-1
Also bekommt man die kritischen Punkte (0|0), (0|1), (0|-1).
Fall B [mm] (x^2=0.25-4y^2):
[/mm]
[mm] 8y-(0.5-8y^2)y-8y^3=0 [/mm]
<==>
7.5y=0
<==> y=0
Einsetzen und zugehöriges x ausrechnen: [mm] x^2=0.25, [/mm] also [mm] x=\pm [/mm] 0.5,
kritische Punkte (0.5|0), (-0.5|0).
Jetzt die kritischen Punkte untersuchen.
LG Angela
>
> Dass (0,0) eine Lösung ist, liegt auf der Hand, aber gibt
> es noch weitere? Und wenn ja wie kann ich diese berechnen?
>
> um das hinreichende Kriterium zu prüfen muss ich dann nur
> noch meine möglichen Extrema in die Hesse-Matrix einsetzen
> und gucken ob diese positiv, negativ oder indefinit ist.
>
> Grüße Seb
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:15 Fr 06.05.2016 | | Autor: | studiseb |
Super! Vielen lieben Dank! Jetzt läufts durch!
Ein schönes Wochenende
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