lokale + globale Extrema < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Di 03.01.2012 | | Autor: | juli84 |
| Aufgabe | Betrachten Sie
f : R -> R; x |-> [mm] (x^2 [/mm] - 49x + [mm] 1)*e^x
[/mm]
Berechnen Sie alle lokalen Extrema von f. Berechnen Sie (falls vorhanden) die globalen Extrema von f. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So nun bin ich soweit, dass ich die lokalen Extrema berechnet habe. Dazu habe ich erstmal die Funktionsgleichung 2mal abgeleitet, also:
f(x) [mm] =(x^2-49x+1)*e^x
[/mm]
f'(x) [mm] =(x^2-47x-48)*e^x
[/mm]
f''(x) [mm] =(x^2-45x-95)*e^x
[/mm]
Die Ableitungen stimmen auch soweit.
Danach habe ich die lokalen Extrema berechnet und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:
Das lokale Minimum ist T(48 | -3,297865879*10^22)
Das lokale Maximum ist H(-1 | 18,7618515).
Nun soll man ja noch die globalen Extrema bestimmen, da habe ich ein Problem bei... Ich habe mir einfach gedacht, da man ja f: |R -> |R hat, ist der Definitionsbereich ja [-oo , + oo]. Also habe ich einfach mal f(x) auf den limes mit x gegen -oo und x gegen +oo untersucht. Da kam ich zu dem Ergebnis, dass der limes von f(x) mit x gegen -oo gleich 0 ist und der limes von f(x) mit x gegen +oo gegen +oo läuft.
Also für x->-oo:
lim [mm] (x^2-49x+1)*e^x=0, [/mm] da die Klammer gegen +oo läuft und [mm] e^x [/mm] gegen 0 läuft.
Und für x->+oo:
lim [mm] (x^2-49x+1)*e^x=+oo, [/mm] da die Klammer gegen +oo läuft und [mm] e^x [/mm] gegen +oo läuft.
Dann habe ich einfach diese beiden Grenzwerte mit den Funktionswerten von den lokalen Extrempunkten verglichen und habe mir folgendes gedacht:
Wenn die Grenzwerte kleiner sind als ein Funktionswert, dann ist der zugehörige x-Wert von dem Funktionswert ein globales Maximum.
Wenn die Grenzwerte größer sind als ein Funktionswert, dann ist der zugehörige x-Wert von dem Funktionswert ein globales Minimum.
Ist ja ganz logisch, oder?
Meine Begründung lautet dann also:
Da beide Grenzwerte (o und +oo) größer als der Funktionswert von x=48 sind, handelt es sich bei T(48 | -3,297865879*10^22) um ein globales Minimum.
Ist das so richtig? Wie lautet dann die Begründung zu dem globalen Maximum? Und was ist überhaupt das globale Maximum?
In der Aufgabenstellung steht ja BERECHNE, aber ich hab ja in der Hinsicht nur die Grenzwerte berechnet, hmm...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Di 03.01.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
die lokalen Extremwerte hast Du ja.
Wenn Du die erste Ableitung ein wenig anders schreibst, nämlich
[mm] f'(x)=e^x(x+1)(x-48)
[/mm]
dann sieht man das f'(x)>0 (streng monoton wachsend) für x>48 und x<-1 und f'(x)<0 (streng monoton fallend) für -1<x<48
D.h. links von -1 wird der Funktionswert nicht kleiner als [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0 [/mm] und
rechts von 48 wird der größste Wert für [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty [/mm] angenommen.
Damit wird das globale Minimum bei x=48 und das globale Maximum bei [mm] x->\infty [/mm] angenommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:07 Mi 04.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Zwei Bemerkungen zu globalen Extremstellen:
1. Da f auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert und differenzierbar ist, gilt für [mm] x_0 \in \IR:
[/mm]
hat f in [mm] x_0 [/mm] ein globales Extremum, so ist [mm] f'(x_0)=0.
[/mm]
2. Mit der Aussage
".... das globale Maximum wird bei x [mm] \to \infty [/mm] angenommen..."
von ullim bin ich überhaupt nicht einverstanden !
Es gilt: f(x) [mm] \to \infty [/mm] für x [mm] \to \infty
[/mm]
Damit ist f nicht nach oben beschränkt.
Fazit: f hat kein globales Maximum.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:27 Mi 04.01.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich denke da hast Du recht.
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