logarithmische Normalverteilun < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Do 19.04.2007 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Ist X eine normalverteilte ZVe mit den Parametern [mm] \mu \in [/mm] R und [mm] \sigma^2 [/mm] >0, so heißt die Verteilung der ZVen Y:= exp (X) logarithmische Normalverteilung mit den Parametern [mm] \mü [/mm] und [mm] \sigma^2. [/mm] Berechnen Sie die Dichte der logarithmischen Normalverteilung. |
Hallo,
irgendwie komm ich mit dieser aufgabe nicht ganz klar.
ich hab ![[]](/images/popup.gif) hier bei wiki das mit der log. normalverteilung nachgeschaut, aber es hilft mir nicht wirklich weiter.
Wie sieht die Normalverteilung genau aus? weil irgendwie ist dort schon immer die dichte angegeben... und müsste ich dann die verteilungsfunktion ableiten...??
wär super, wenn mir jemand helfen kann.
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Fr 20.04.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Riley,
die Verteilungsfunktion von $Y$ ist [mm] $P(Y\le y)=P(\exp(X)\le y)=P(X\le \log(y))=\Phi((\log(y)-\mu)/\sigma)$ [/mm] fuer $y>0$. Dabei ist [mm] $\Phi$ [/mm] die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Leite nun ab...
LG
Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Luis,
danke für deine Antwort.> Moin Riley,
ich versteh aber nicht, wie du auf diesen letzten schritt kommst...?
[mm] P(X\le \log(y))=\Phi((\log(y)-\mu)/\sigma)[/mm] [/mm]
ich hätte geschrieben [mm] P(X\le \log(y)) [/mm] = [mm] F_X(log(y)) [/mm] wobei [mm] F_X [/mm] eben die Normalverteilungsfunktion von X ist... aber wo kommt das [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] so schnell her?
und muss ich das dann hier einsetzen und ableiten...?
F(x) = [mm] \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \integral_{-\infty}^{x}{exp(-\frac{1}{2}(\frac{t-\mu}{\sigma})^2) dt}
[/mm]
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Fr 20.04.2007 | | Autor: | luis52 |
> .. aber wo kommt das [mm]\mu[/mm] und [mm]\sigma[/mm] so schnell her?
>
> und muss ich das dann hier einsetzen und ableiten...?
>
> F(x) = [mm]\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \integral_{-\infty}^{x}{exp(-\frac{1}{2}(\frac{t-\mu}{\sigma})^2) dt}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
Nach einer alten Bauernregel gilt $F(x)=\Phi((x-\mu)/\sigma)$ mit
$\Phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\integral_{-\infty}^{z}{\exp(-\frac{1}{2}t^2) \,dt$
lg
Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Luis,
das ist ja kompliziert und diese Bauernregel kenn ich nicht...
also heißt das ich muss
[mm] \integral_{-\infty}^{\frac{log(x)-\mu}{\sigma}}{exp(-\frac{1}{2}t^2) dt} [/mm] ableiten...?
und wie mach ich das mit der unendlichen integralgrenze??
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Sa 21.04.2007 | | Autor: | luis52 |
> Hi Luis,
> das ist ja kompliziert
> und wie mach ich das mit der unendlichen integralgrenze??
>
Hallo Riley,
du denkst nur dass es kompliziert ist. Du musst nur den Zusammenhang zwischen Verteilungsfunktion und Dichte ausnutzen. Es gilt naemlich
[mm] $\Phi'(z)=\varphi(z)=\exp(-\frac{1}{2}z^2)/\sqrt{2\pi}$.
[/mm]
Beziehe ich mich auf meine erste Antwort, und nenne ich [mm] $F(y)=P(Y\le [/mm] y)$, so erhalte ich fuer die gesuchte Dichte
[mm] $f(y)=F'(y)=\frac{\varphi((\log(y)-\mu)/\sigma)}{\sigma y}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma y} \exp(-\frac{(\log(y)-\mu)^2}{2\sigma^2})$. [/mm]
Das ist genau das Ergebnis des von dir genannten Links.
lg
luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:16 Sa 21.04.2007 | | Autor: | luis52 |
> Hi Luis,
> das ist ja kompliziert und diese Bauernregel kenn ich
> nicht...
>
Noch eine Anmerkung: Dass du die Regel nicht kennst, bezweifle ich. Du kennst dich doch mit der Normalverteilung aus, oder? Wie wuerdest du denn fuer normalverteilte Zufallsvariable $X$ mit Erwartungswert 1 und Varianz 4 die Wahrscheinlichkeit [mm] $P(X\le [/mm] 2)$ berechnen?
Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Sa 21.04.2007 | | Autor: | Riley |
Guten Morgen Luis,
besten Dank nochmal für deine Erklärungen. ich versteh jetzt wo du was eingesetzt hast - nur die Bauernregel ist mir noch ein Rätsel...
neh, leider kenn ich die Verteilungsfunktion nur vom 10DM-schein, hab damit noch nichts zu tun gehabt... aber ich würde es gerne lernen!
nach dem bsp würd ich jetzt mal sagen dass P(X [mm] \leq2) [/mm] = [mm] \Phi(\frac{2 - \mu}{\sigma}) [/mm] ...? aber wofür E[X] und Var[X] ?
Viele Grüße
Riley
PS: sorry,hab doch noch ne frage, ist wohl eher ein analytisches Problem
[mm] \Phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\integral_{-\infty}^{z}{\exp(-\frac{1}{2}t^2) }dt
[/mm]
[mm] \Phi'(z)=\varphi(z)=\exp(-\frac{1}{2}z^2)/ \sqrt{2\pi}
[/mm]
Was passiert beim Ableiten mit der [mm] -\infty [/mm] - Grenze?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Sa 21.04.2007 | | Autor: | luis52 |
> Guten Morgen Luis,
> besten Dank nochmal für deine Erklärungen. ich versteh
> jetzt wo du was eingesetzt hast - nur die Bauernregel ist
> mir noch ein Rätsel...
>
> neh, leider kenn ich die Verteilungsfunktion nur vom
> 10DM-schein, hab damit noch nichts zu tun gehabt...
Na, das ist ja schon einmal ein Anfang... 
> aber ich würde es gerne lernen!
Hier ist vielleicht etwas fuer dich:
http://imib.uni-muenster.de/fileadmin/template/conf/imib/lehre/skripte/biomathe/bio/script7.html
>
> nach dem bsp würd ich jetzt mal sagen dass P(X [mm]\leq2)[/mm] =
> [mm]\Phi(\frac{2 - \mu}{\sigma})[/mm] ...
Genau.
> ? aber wofür E[X] und Var[X] ?
Wegen [mm] $\mbox{E}[X]=\mu$ [/mm] und [mm] $\mbox{Var}[X]=\sigma^2$ [/mm] (Traditionelle Bezeichnungen bei der NV)
>
> Viele Grüße
> Riley
>
> PS: sorry,hab doch noch ne frage, ist wohl eher ein
> analytisches Problem
>
> [mm]\Phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\integral_{-\infty}^{z}{\exp(-\frac{1}{2}t^2) }dt[/mm]
>
> [mm]\Phi'(z)=\varphi(z)=\exp(-\frac{1}{2}z^2)/ \sqrt{2\pi}[/mm]
>
> Was passiert beim Ableiten mit der [mm]-\infty[/mm] - Grenze?
>
Dies folgt auf Grund des Zusammenhangs zwischen Dichte und
Verteilungsfunktion, siehe z.B. hier
http://statmath.wu-wien.ac.at/courses/wsim/WSim-Folien2.pdf
Slide 49
Demnach gilt [mm] $\Phi'(z)=\varphi(z)$ [/mm] fuer [mm] $\Phi(z)=\int_{-\infty}^z\varphi(t)\,dt$. [/mm] Beachte, dass dieser Zusammenhang besteht, obwohl [mm] $\Phi(z)$ [/mm] ein uneigentliches Integral ist (deine Frage bzgl. [mm] $-\infty$) [/mm]
lg
Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Luis,
danke für deine Eklärungen und die Links. Würde das sehr gerne mal noch nachlesen mit dem uneigentlichen Integral, aber irgendwie funktionieren bei mir beide links nicht... ??
habs auch schon per copy&paste versucht, aber kommt ne fehlermeldung...
Viele Grüße
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Mo 23.04.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Riley,
du hast Recht, direktes Draufklicken klappt bei mir auch nicht. Aber cut-and-paste funktioniert schon. Anbei eine Alternative:
http://imib.uni-muenster.de/fileadmin/template/conf/imib/lehre/skripte/biomathe/bio/script7.html
http://statmath.wu-wien.ac.at/courses/wsim/WSim-Folien2.pdf
lg
Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:15 Di 24.04.2007 | | Autor: | Riley |
Guten Morgen Luis,
vielen Dank für die links, jetzt kann ichs lesen!
Viele Grüße
Riley
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