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hi
möchte folgendes integral lösen
[mm] \integral_{0}^{\pi/2}{sin(x) cos(x) \wurzel{cos(x) + 1} dx}
[/mm]
hab im internet mal folgendes hilfsblatt gefunden:
![[]](/images/popup.gif) http://www.fh-meschede.de/public/ries/integsub.pdf
hier steht bei I.a), dass man bei integraltypen, die von sinx und cosx abhängen, zunächst mit z= tan(x/2) substituieren kann
habs ausprobiert, komm da aber auf nichts vernünftiges
hab deshalb mal die frage, ob jemand weiß, ob die auf diesem hilfsblatt aufgeführten substitutionen tatsächlich immer vorteilhaft sind oder nur in bestimmten fällen
und bringt diese substitution bei oben genanntem integral etwas oder kann ich hier mit einer anderen substitution oder vllt partieller integration schneller zum erfolg kommen?
wie geh ich denn am besten an die aufgabe ran?
würd mich schon freuen, wenn mir jemand einen tipp geben könnte, wie ich überhaupt anfangen könnte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Do 22.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rudi!
Ich würde hier ganz anders substituieren; nämlich:
$z \ := \ [mm] \cos(x)+1$ $\gdw$ $\cos(x) [/mm] \ = \ z-1$
Gruß
Loddar
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oh mann, danke, wie schön sich dann das integral vereinfacht, man glaubts fast garnicht:)
ich hab nach der substitution z = cos(x) + 1 und substitution der grenzen folgendes integral dastehen:
[mm] \integral_{1}^{2}{(z - 1) \wurzel{z} dz} [/mm]
...
= [mm] \integral_{1}^{2}{z^{3/2}dz} [/mm] - [mm] \integral_{1}^{2}{z^{1/2} dz}
[/mm]
= 2/5 ( [mm] 2^{5/2} [/mm] - 1 ) - 2/3 ( [mm] 2^{3/2} [/mm] - 1 )
könntest du mal kurz nachrechnen, ob das jetzt so stimmt oder hab ich irgendeinen fehler gemacht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Do 22.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rudi!
Du musst die substituierten Integrationsgrenzen auch entsprechend der alten Grenzen einsetzen.
Wegen $z(0) \ = \ [mm] \cos(0)+1 [/mm] \ = \ 1+1 \ = \ 2$ und [mm] $z\left(\bruch{\pi}{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \cos\left(\bruch{\pi}{2}\right)+1 [/mm] \ = \ 0+1 \ = \ 1$ muss das Integral lauten:
[mm] $\integral_2^1{(z-1)*\wurzel{z} \ dz} [/mm] \ =\ ...$
Gruß
Loddar
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hab ich auch ja auch gemacht:)
dann steht zunächst da:
- [mm] \integral_{2}^{1}{(z - 1) \wurzel{z} dz} [/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{2}{(z - 1) \wurzel{z} dz} [/mm]
also müsste meine lösung demnach passen oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Do 22.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rudi!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !! Ich gebe zu, das mit dem Minuszeichen hatte ich übersehen. Ergebnis passt!
Gruß
Loddar
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