ln Funktion mit Betrag lösen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Di 11.03.2014 | | Autor: | bombom |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den maximalen Defintionsbereich von [mm] f(x)=\ln\left|\left(\bruch{x^2-4x}{x^2-6}\right)\right| [/mm] und diskutieren Sie die dadurch gegebene Funktion f (Diskussion: Nullstellen, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs sowie [mm] x\rightarrow [/mm] -/+ unendlich, relative Extrena, Skizze |
Ich habe die Funktion in die Form ln|x²-4x| - ln|x²-6|=0 gebracht dann den ln aufgelöst mit e und x>1 (ich weiß nicht wie ich mit den Betragsstrichen umgehen soll:
(x²-4x)-(x²-6)=1
An dieser stelle komme ich nicht weiter. Ich habe versucht durch quadratische Ergänzung über
((x-2)²-4)-(x-3)²-9=1
.
.
.
(x)(x-4)-(x-6)(x)=1 Die nullstellen zu ermitteln das ist aber falsch. Ich verstehe die Lösung aber auch nicht. Diese lautet:
[mm] |\left( \bruch{x²-4x}{x²-6} \right)|=1
[/mm]
(x²-4x)²-(x²-6)²=0
(4x-6)(x²-2x-3)=0
x=-1 oder [mm] x=\left( \bruch{3}{2} \right) [/mm] oder x=3
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Di 11.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie den maximalen Defintionsbereich von f(x)= ln
> [mm]|\left( \bruch{x²-4x}{x²-6} \right)[/mm]
Im Quelltext sehe ich: [mm]|( \bruch{x^2-4x}{x^2-6})|[/mm]
> diskutieren Sie
> die dadurch gegebene Funktion f (Diskussion: Nullstellen,
> Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs sowie
> [mm]x\rightarrow[/mm] -/+ unendlich, relative Extrena, Skizze
> Ich habe die Funktion in die Form ln|x²-4x| - ln|x²-6|=0
> gebracht dann den ln aufgelöst mit e und x>1 (ich weiß
> nicht wie ich mit den Betragsstrichen umgehen soll:
> (x²-4x)-(x²-6)=1
???? Was hast Du da nur gemacht ???
Es geht also um die Gleichung f(x)=0.
Also um [mm] ln|x^2-4x|=ln|x^2-6|
[/mm]
Allgemein gilt für positive a und b:
$ln(a)=ln(b)$ [mm] \gdw [/mm] $a=b$
>
> An dieser stelle komme ich nicht weiter. Ich habe versucht
> durch quadratische Ergänzung über
> ((x-2)²-4)-(x-3)²-9=1
> .
> .
> .
> (x)(x-4)-(x-6)(x)=1 Die nullstellen zu ermitteln das ist
> aber falsch. Ich verstehe die Lösung aber auch nicht.
> Diese lautet:
>
> [mm]|\left( \bruch{x²-4x}{x²-6} \right)|=1[/mm]
>
> (x²-4x)²-(x²-6)²=0
> (4x-6)(x²-2x-3)=0
> x=-1 oder [mm]x=\left( \bruch{3}{2} \right)[/mm] oder x=3
>
>
Ja, so kann mans auch machen:
f(x) =0 [mm] \gdw[/mm] [mm]|\left( \bruch{x^2-4x}{x^2-6} \right)|=1[/mm]
Denn es gilt: $ln(a)=0$ [mm] \gdw [/mm] a=1.
Weiter:
[mm]|\left( \bruch{x^2-4x}{x^2-6} \right)|=1[/mm] [mm] \gdw |x^2-4x|=|x^2-6| \gdw (x^2-4x)^2=(x^2-6)^2.
[/mm]
Denn es gilt: |a|=|b| [mm] \gdw a^2=b^2
[/mm]
FRED
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Di 11.03.2014 | | Autor: | bombom |
Vielen Dank für die rasche Antwort.
Ich kann also die Betragsstriche einfach durch die Quadrate ersetzen mit der Bedingung x>1?
Jetzt versuche ich die Gleichung zu lösen und bekomme am ende aber statt (4x-6)->(-4x+6):
(x²-4x)-(x²-6)=0
(x²-4x-x²+6)(x²-4x+2-6)=0
(-4x+6)(x²-2x-3)=0 (Darf ich hier den ersten Faktor einfach mit (-1) multiplizieren? Ist das dann richtig?
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> Vielen Dank für die rasche Antwort.
> Ich kann also die Betragsstriche einfach durch die Quadrate
> ersetzen
Hallo,
nicht "ersetzen". Die Gleichungen sind äquivalent. Sie haben dieselbe Lösungemenge.
> mit der Bedingung x>1?
??? Was meinst Du damit?
Du hattest
f(x) =0 [mm] \gdw [/mm] ... [mm] \gdw (x^2-4x)^2=(x^2-6)^2,
[/mm]
> Jetzt versuche ich die Gleichung zu lösen und bekomme am
> ende aber statt (4x-6)->(-4x+6):
Sicher willst Du sagen, daß Du statt (4x-6)=0 bekommst (-4x+6)=0.
Das ist doch egal. Die Gleichungen sind äquivalent, sie haben dieselbe Lösung.
>
> (x²-4x)-(x²-6)=0
Wo sind die Quadrate hin?
Bedenke: aus [mm] (x^2-4x)^2=(x^2-6)^2 [/mm] folgt nicht, daß [mm] (x^2-4x)=(x^2-6).
[/mm]
(Falls Du nicht überzeugt bist: auch [mm] (-5)^2=5^2 [/mm] folgt auch nicht, daß -5=5.)
Es folgt, daß die Beträge gleich sind, aber die hattest Du extra so raffiniert wegquadriert.
Ausgehend von [mm] (x^2-4x)^2=(x^2-6)^2 [/mm] verwende die binimosche Formel und begib Dich später auf Nullstellensuche,
oder folgere so:
[mm] (x^2-4x)^2=(x^2-6)^2 [/mm] ==> [mm] x^2-4x=x^2-6 [/mm] oder [mm] x^2-4x=-(x^2-6).
[/mm]
Bearbeite beide Gleichungen und prüfe die Lösungen durch Einsetzen daraufhin, ob es wirklich Lösungen sind.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Di 11.03.2014 | | Autor: | bombom |
Hallo Angela,
Ich meinte mit x>1, ob für diesen Term diese Bedingung gelten muss, weil es sich um den ln handelt.
Sorry hatte beim unteren Term die Quadratzeichen nur vergessen. Ich habe es dann wie ein Binom behandelt und bin auf die richtige Antwort gelangt.
Ich bedanke mich für die Hilfe :)
LG Bombom
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