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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:49 Di 03.05.2005 | | Autor: | Do0107 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also, ich bin gerade dabei ein paar Stochastikaufgaben zu wiederholen und versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen:
"Die Imbisskette will ihre Öffnungszeiten morgens verlängern, wenn in einer erneuten Umfrage mindestens 40 % aller Kunden am Morgenkauf interessiert sind. Es werden 200 zufällig ausgewählte Kunden zum Morgenkauf befragt...
Entwickeln Sie dazu einen Signifikanztext, bei dem die Wahrscheinlichkeit für die irrtümliche Ablehnung, verlängerter Öffnungszeiten höchstens 5 % beträgt und geben Sie die zugehörige Entscheidungsregel an."
So, also, folgenden ist klar (linksseitiger Signifikanztest):
1.) H0: p0 [mm] \ge [/mm] 0,4 H1: p1< 0,4
2.) X: Anzahl der Kunden, die am Morgenkauf interessiert sind
X ~ B(200;0,4)
So und ab jetzt beginnen die Schwierigkeiten, denn laut der Lösung soll der Annahmebereich [mm] A=\{k+1...n\} [/mm] und der Ablehnungsbereich [mm] A'=\{0... k\} [/mm] sein.
Aber warum? Naja, ich versuche es jetzt mal mit diesem Ansatz weiter:
3.) [mm] A=\{k+1...n\} [/mm] und [mm] A'=\{0... k\}
[/mm]
4.)
P (A'p0) [mm] \le [/mm] 0,05
[mm] B(200;0,4\{0..k\}) \le [/mm] 0,05 [mm] \Rightarrow [/mm] da n*p=80= [mm] \mu [/mm] > 9 muss approximiert werden mit der globalen Näherung
(Phi) [mm] ((k+0,5-80)/(\wurzel{200*0,4*(1-0,4)} \le [/mm] 0,05
So, wenn ich nun aber in meine Tabelle der Standardnormalverteilung schaue, gibt es keinen Wert, der unter 0,05 liegt.
Also, denke ich mir, dass ich damit rechnen muss, dass der Wert negativ ist, also (Phi)(-x) = 1- (Phi)(x).
D.h.:
1 - (Phi) [mm] ((k+0,5-80)/(\wurzel{200*0,4*(1-0,4)} \le [/mm] 0,05
Nach einigen Umformungen hieße dies ja:
(Phi) [mm] ((k+0,5-80)/(\wurzel{200*0,4*(1-0,4)} \ge [/mm] 0,95
Und wenn ich nun nach einem Wert schaue, so stoße ich auf (Phi)(1,65) = 0,9505.
Rechne ich damit jetzt weiter komme ich aber auf ein k von ca. 91. In der Lösung steht aber 68. Was habe ich falsch gemacht?
Bis neulich!
Doreen
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Hi, Doreen,
> "Die Imbisskette will ihre Öffnungszeiten morgens
> verlängern, wenn in einer erneuten Umfrage mindestens 40 %
> aller Kunden am Morgenkauf interessiert sind. Es werden 200
> zufällig ausgewählte Kunden zum Morgenkauf befragt...
>
> Entwickeln Sie dazu einen Signifikanztext, bei dem die
> Wahrscheinlichkeit für die irrtümliche Ablehnung,
> verlängerter Öffnungszeiten höchstens 5 % beträgt und geben
> Sie die zugehörige Entscheidungsregel an."
>
> So, also, folgenden ist klar (linksseitiger
> Signifikanztest):
>
> 1.) H0: p0 [mm]\ge[/mm] 0,4 H1:
> p1< 0,4
>
> 2.) X: Anzahl der Kunden, die am Morgenkauf interessiert
> sind
> X ~ B(200;0,4)
>
> So und ab jetzt beginnen die Schwierigkeiten, denn laut der
> Lösung soll der Annahmebereich [mm]A=\{k+1...n\}[/mm] und der
> Ablehnungsbereich [mm]A'=\{0... k\}[/mm] sein.
Logo: Bei einem linksseitigen Signifikanztest liegt der Ablehnungsbereich immer LINKS vom Annahmebereich. (Übrigens ist natürlich n=200).
> 3.) [mm]A=\{k+1...n\}[/mm] und [mm]A'=\{0... k\}[/mm]
>
> 4.)
> P (A'p0) [mm]\le[/mm] 0,05
> [mm]B(200;0,4\{0..k\}) \le[/mm] 0,05 [mm]\Rightarrow[/mm] da
> n*p=80= [mm]\mu[/mm] > 9 muss approximiert werden mit der globalen
> Näherung
>
> (Phi) [mm]((k+0,5-80)/(\wurzel{200*0,4*(1-0,4)} \le[/mm] 0,05
>
> So, wenn ich nun aber in meine Tabelle der
> Standardnormalverteilung schaue, gibt es keinen Wert, der
> unter 0,05 liegt.
> Also, denke ich mir, dass ich damit rechnen muss, dass der
> Wert negativ ist, also (Phi)(-x) = 1- (Phi)(x).
> D.h.:
>
> 1 - (Phi) [mm]((k+0,5-80)/(\wurzel{200*0,4*(1-0,4)} \le[/mm] 0,05
>
> Nach einigen Umformungen hieße dies ja:
>
> (Phi) [mm]((k+0,5-80)/(\wurzel{200*0,4*(1-0,4)} \ge[/mm] 0,95
Falsch: k +0,5-80 (übrigens = k-79,5) ist ja negativ, also muss der zugehörige positive Wert gleich 79,5 - k sein!
> Und wenn ich nun nach einem Wert schaue, so stoße ich auf
> (Phi)(1,65) = 0,9505.
>
> Rechne ich damit jetzt weiter komme ich aber auf ein k von
> ca. 91. In der Lösung steht aber 68. Was habe ich falsch
> gemacht?
Siehe meine obige Bemerkung: Du hast mit k-79,5 [mm] \ge [/mm] 11,43 gerechnet. Richtig wäre jedoch: 79,5-k [mm] \ge [/mm] 11,43 sodass am Ende k [mm] \le [/mm] 68,07 steht.
Damit ist das maximale k gleich 68 und der Ablehnungsbereich ist {0; ...; 68}.
Aber nun hätt' ich mal 'ne Frage:
Warum nimmst Du überhaupt die Normalverteilung als Näherung? Die Binomialverteilung B(200;0,4) ist doch auch drin im Tafelwerk und damit ist der Aufwand immens kleiner!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Di 03.05.2005 | | Autor: | Do0107 |
Also, ich habe die Näherung genutzt, weil ich mal in der Schule gelernt habe, dass wenn der Erwartungswert > 9 ist, man approximieren muss.
Aber stimmt schon, wenn ich in den Tabellen der summierten Binomialverteilung nachschlage, komme ich auch auf das Ergebnis.
Mich wundert aber immer noch dieses 79,5-k.... und warum man hier auf einmal nicht approximieren muss....
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Hi, Doreen,
> Also, ich habe die Näherung genutzt, weil ich mal in der
> Schule gelernt habe, dass wenn der Erwartungswert > 9 ist,
> man approximieren muss.
Man "MUSS" nur dann approximieren, wenn das Tafelwerk für die Binomialverteilung versagt. Wenn man jedoch die Wahl hat zwischen Binomialverteilung und Näherung, nimmt man natürlich die Binomialverteilung.
Die Sache mit "npq > 9" besagt nur, dass die Näherung in diesem Fall BRAUCHBAR ist, für npq < 9 sind die Werte meist sehr schlecht! Man "muss" aber nicht approximieren nur weil npq > 9 ist!
>
> Aber stimmt schon, wenn ich in den Tabellen der summierten
> Binomialverteilung nachschlage, komme ich auch auf das
> Ergebnis.
Eben! Und das geht schneller als mit der Normalverteilung!
>
> Mich wundert aber immer noch dieses 79,5-k.... und warum
> man hier auf einmal nicht approximieren muss....
Das "79,5-k" stammt doch aus Deiner Approximation:
Es ist der Zähler des Bruches im Argument von [mm] \Phi, [/mm]
nachdem man festgestellt hat, dass k - 80 + 0,5 = k - 79,5 NEGATIV ist und somit 79,5-k positiv.
Übrigens bräuchtest Du diese Umformung nicht, wenn Dein Tafelwerk auch sogenannte "Quantile" aufgelistet hätte (Schau mal nach am Ende der Tabelle zur Normalverteilung! Vielleicht hast Du's ja dort doch!).
Dort würdest Du finden: [mm] \Phi(-1,645) [/mm] = 0,05 und die Aufgabe wäre ohne die Umformung gelöst:
[mm] \bruch{k-79,5}{\wurzel{200*0,4*0,6}} \le [/mm] -1,645.
usw.
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