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| Aufgabe | | Gibt es zu einer endlichen Zahl von Punkten in der Ebene R², die nicht alle auf einer Geraden liegen, immer eine Gerade durch zwei der Punkte, die keinen dritten der Punkte enthält? |
Könnt ihr mir einen Tipp oder einen Ansatz geben??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:43 Di 19.06.2007 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Lisalou85,
> Gibt es zu einer endlichen Zahl von Punkten in der Ebene
> R², die nicht alle auf einer Geraden liegen, immer eine
> Gerade durch zwei der Punkte, die keinen dritten der Punkte
> enthält?
> Könnt ihr mir einen Tipp oder einen Ansatz geben??
Was wäre, wenn man all diese Punkte auf eine Kreislinie legt? Ich meine, das wäre die Lösung der Aufgabe?
Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:10 Mi 20.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Karl
Du hast die Frage missverstanden. Man darf sich die Punkte nicht aussuchen, dass es Konstellationen gibt, wo immer nur je 2 Pkte auf einer geraden liegen ist klar. dass es bei 3,4,5 pkt. richtig ist kann man leicht direkt beweisen. aber bei n? Aber die einzige Vors über die pkte ist, dass sie nicht alle auf einer Geraden liegen. anders gesagt, kannst du eine Konstellation ausdenken, auf der es garantiert immer mindestens 3 pkte auf einer Geraden liegen, dann hättest du nen Gegenbeweis.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 Mi 20.06.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> ..., die nicht alle auf einer Geraden liegen, ...
Wie ist denn das gemeint? Dürfen denn z.B. drei von vier Punkten auf einer Gerade liegen? (siehe Zeichnung)
Oder dürfen überhaupt keine drei Punkte auf einer Geraden liegen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 Mi 20.06.2007 | | Autor: | tobbi |
Hallo,
zu rabileins Frage: da ja in der Aufgabenstellung von "nicht alle" auf einer Gerade gesprochen wird, müsste es also ausreichend sein, wenn einer nicht auf der Geraden liegen würde (sozusagen das Bild von rabilein). Eine Interpretation dahin gehend, dass nie 3 Punkte auf einer Geraden liegen dürfen, wäre unsinnig, da dann die Behauptung direkt folgen würde.
Betrachtet man das ganze ausgehend von 2 Punkten (und der zugehörigen Geraden), so liegt der 3. Punkt nie auf einer Geraden durch die anderen 2 Punkte (per Vorraussetzung). Es entstehen 3 Geraden. Die Behauptung ist auch erfüllt wenn der 4. Punkt auf eine der dann 3 exisierenden Geraden liegt (es bleiben dann immernoch 2 über!). Liegt auch der 5. Punkt auf einer (bereits vorhandenen) Gerade, entsteht eine neue (durch Punkte 4 und 5). Liegt er neben einer anderen Gerade entstehen sogar 4 neue Geraden. usw.
Geht man diesem Gedanken weiter nach, müsste dies bedeuten, dass mindestens immer 2 solcher Geraden existieren, die Behauptung also immer erfüllt ist.
Ein direkter Beweis (Induktion????), fällt mir aber nicht ein :-(
Schöne Grüße
Tobbi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi,
die Zeichnung von Rabilein zeigt doch ganz eindeutig, dass die Aussage eben grade NICHT erfüllt ist. EIN Gegenbeispiel genügt in solchen Fällen immer! (Der positive Beweis - nämlich dass die Aussage wahr wäre - ist viel schwieriger! Glück gehabt!)
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Mi 20.06.2007 | | Autor: | tobbi |
Moin,
ich sehe in der Skizze von rabilein genau 3 möglich Geraden, die die Behauptung erfüllen! Das ist also definitif kein Gegenbeispiel.
Schöne Grüße
Tobbi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, tobbi,
> ich sehe in der Skizze von rabilein genau 3 möglich
> Geraden, die die Behauptung erfüllen! Das ist also
> definitif kein Gegenbeispiel.
Hmm,
hab' Du Aufgabe scheint's anders aufgefasst als Du!
Ich versteh' sie so: Wenn man 2 völlig beliebige Punkte verbindet, soll auf der zugehörigen Geraden kein weiterer Punkt liegen.
Kann aber sein, dass Deine Interpretation stimmt!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Mi 20.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich versuch eine Übersetzung der Aufgabe:
man hat beliebige n Punkte, einzige Vors. nicht ALLE auf einer Geraden.
Beh. es gibt KEINE Konstellation, wo es nicht mindestens eine Gerade gibt, auf der nur 2 Punkte sind.
für kleine Zahlen n sieht man das durch ausprobieren direkt.
Wenn man für ein spezielles n ein gegenbeispiel fände, d.h. auf jeder Verbindungsgerade liegen wenigstens 3 Punkte wär man fertig.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Mi 20.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Induktion:
i) für n=3 erfüllt jedes Paar ij die Eigenschaft E.
ii) Existiere ein Paar ij, mit E. Nehme einen Pkt n+1 auf ij (sonst wären wir fertig) und nummeriere die Pkte von 1 bis n, so dass i=n-1, j=n und folgende Überlegungen passen:
Angenommen E gilt für kein Paar.
I) n ungerade. Dann liegt (mindestens) 1 auf (n+1,2), 3 auf (n+1, 4), 5 auf (n+1,6) ... n-2 auf (n+1, n-1) - Widerspruch, da n-2 auf (n, n-1)=(n+1, n, n-1) liegt.
II) n gerade - hier fällt mir leider nix ein. Aber ich glaube so muss man an die Aufgabe rangehen.
Gruß,
dormant
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Also, ich finde deine Konstruktion sehr interessant, bin nur nicht überzeugt, dass sie so, wie von dir beschrieben, immer hinhauen muss!!!! Denn sie setzt ja voraus, dass es möglich ist, diese (n-1)/2 ungraden Punkte schrittweise so bestimmen zu können, dass sie nicht, auf einer der vorher schon bestimmten Geraden liegen. Aber wieso muss das so sein? Es könnte doch sein, dass ich nach "5 liegt auf (n+1, 6)" feststelle, dass ich keinen Punkt mehr finde, der noch nicht auf einer der bisher definierten Geraden liegt!?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Do 21.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo Zusammen !!
Ist nicht die eigentliche Fragestellung, dass behauptet wird, bei endlich vielen Punkten in der Ebene, wird es immer mindestend eine Gerade geben, die nur zwei Punkte enthält.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Do 21.06.2007 | | Autor: | Regina256 |
Das schon, meine Frage bezog sich auf den Beweis von Dormant, der die Annahme, dass es nicht so sein könnte zum Widerspruch führen wollte! Gruß zurück!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Do 21.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Wenn man keinen solchen Punkt findet, dann hat man ein Paar (n+1,i) mit E gefunden. Die Konstruktion führt nur aus was passieren würden, wenn man alle Geraden durch n+1 und einen anderen Punkt betrachtet. Der Beweis funktioniert schon, der sieht nur sehr schlecht aus mit dieser Enumeration.
Gruß,
dormant
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