linerare algebra: vektorebene < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Mo 13.12.2004 | | Autor: | keen |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hab folgende aufgabe:
" [mm] \IC [/mm] ist ein [mm] \IR [/mm] -Vektorraum. geben sie (tabellarisch) für jede der 16 teilmengen von {+1, +i, -1, -i} [mm] \subseteq \IC [/mm] an, ob es sich um eine linear unabhängige menge, ein erzeugendensystem oder um eine basis handelt."
-> hab leider keine ahnung was ich da machen soll :(
schonmal danke für eure tipps.. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Lieber keen
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Bitte beginne deine Fragen jeweils mit einer Begrüssung. Das ist doch sehr viel freundlicher!
Also: zunächst einmal: die Komplexen Zahlen werden in dieser Aufgabe als Vektoren aufgefasst, als Skalarenkörper dienen die reellen Zahlen. Du darfst also nie eine Komplexe Zahl mit einer anderen Komplexen Zahl multiplizieren, sondern nur eine reelle Zahl mal eine Komplexe.
Zunächst musst du alle Teilmengen der gegebenen 4-elementigen Menge auflisten. Es gibt ja 16 davon (eine davon mit 0 Elementen, 4 haben 1 Element, 6 haben 2 Elemente, 4 haben 3 Elemente und eine hat 4 Elemente.)
Wann ist eine Menge von Vektoren linear unabhängig?
Dann wenn der 0-Vektor nur als triviale Linearkombination aus diesen Vektoren erzeugt werden kann.
Ich mache am besten ein kleines Beispiel:
Ich nehme mal die Teilemenge ${+1,+i,-i}$
Jetzt versuche ich, den Nullvektor (das ist also die Zahl 0, aufgefasst als Element von [mm] $\mathbb{C}$) [/mm] als Linearkombination dieser drei Vektoren darzustellen:
[mm] $\alpha*(+1)+\beta*(+i)+\gamma*(-i)=0$
[/mm]
Dabei ist zu beachten, dass [mm] $\alpha, \beta$ [/mm] und [mm] $\gamma$ [/mm] reelle Zahlen sein müssen.
Hier stellst du unschwer fest, dass mit [mm] $\alpha=0, \beta=1$ [/mm] und [mm] $\gamma=1$ [/mm] eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors möglich ist. Somit ist die untersuchte Teilmenge nicht linear unabhängig, oder anders ausgedrückt: sie ist linear abhängig.
Beachte hier auch nochmals: die Null für [mm] $\alpha$ [/mm] muss hier als reelle Zahl aufgefasst werden, nicht als Komplexe Zahl!
So, diese kleine Rechnung hast du einfach für alle möglichen Teilmengen zu machen.
Eine besondere Ueberlegung braucht es aber noch für die leere Menge: ist diese linear unabhängig oder linear abhängig. Was meinst du, und wie begründest du das?
Mit lieben Grüssen
Paul
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