linearität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Do 27.04.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute, wir haben in der Vorlesung die linearität der kanonischen Projektion [mm] \pi [/mm] bewiesen wobei [mm] \pi:V\to V\backslash [/mm] U, v [mm] \mapsto [/mm] v+U (Faktorraum) V Vekotorraum [mm] U\subset [/mm] V Unterraum
dabei haben wir für die abeschlossenheit bzgl. der Addition folgendes gemacht:
[mm] \pi(v+v')=(v+v')+U=(v+U)+(v'+U)=\pi(v)+\pi(v')
[/mm]
ehrlichgesagt verstehe ich diesen schritt nicht so ganz:
(v+v')+U=(v+U)+(v'+U)
hat man da ausgenutzt, dass man jedes Element aus U mit hilfe von 2 anderen element aus U darstellen kann oder wo kommt auf einmal das 2. U her?
wäre nett,wenn mir da einer von euch weiterhelfen kann :)
Gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Do 27.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
wir hatten das letztens doch schonmal - ich bin mir nicht mehr sicher, ob das jetzt schon reicht, aber es ist doch U=U+U
damit macht man aus einem U gleich zwei...
aber ich lasse es mal auf teilweise beantwortet, falls hier noch ein Fehler drinne steckt bzw. es gar nichts damit zu tun hat.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Do 27.04.2006 | | Autor: | AriR |
also wenn gilt: U=U+U würde ich sagen die frage ist beantwortet, nur stimmt das?
ein beweis könnte ja folgendermaßen aussehen:
Sei [mm] (u_1,...,u_n) [/mm] eine Basis von U, dann ist U+U= [mm] =<2*u_1,...,2*u_n>=
[/mm]
ist das so richtig? und damit ist dann (v+v')+U=(v+v')+U+U=v+U+v'+U
kann man das so sagen?
gruß Ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:25 Fr 28.04.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> also wenn gilt: U=U+U würde ich sagen die frage ist
> beantwortet, nur stimmt das?
> ein beweis könnte ja folgendermaßen aussehen:
> Sei [mm](u_1,...,u_n)[/mm] eine Basis von U, dann ist U+U=
> [mm]=<2*u_1,...,2*u_n>=[/mm]
>
> ist das so richtig? und damit ist dann
> (v+v')+U=(v+v')+U+U=v+U+v'+U
>
Man muss hier genau wissen, was man eigentlich betrachtet. Namlich über diesen kanonischen Epimorphismus hat man eine ganze Klasse(!) von Vektoren erhalten. Das ist insbesondere eine Menge und dadurch erhält man bestimmte Eigenschaften.
Man kann z.B. zeigen, dass man auf den Klassen (also in V/U) eine Addition definieren kann indem man sie auf den Klassenvertretern erklärt.
der Epimoprhismus bildet v auf die Klasse v+U ab. und v' auf die Klasse v'+U.
Was ist das? Nun [mm] $v+U=\{ v+u | u \in U\}$. [/mm] Also alle möglichen Summen vom Vektor v mit einem beliebigen Vektor aus U.
Da U ein Unterraum ist, gilt für ihn, dass er abgeschlossen ist, bezgl. der Addition. Es ist also [mm] $u_1 +u_2 \in [/mm] U$ wenn beide in U liegen.
Bleibt jetzt nur noch die Preisfrage, warum das eine U da wegfällt. Nun wir haben eine Addition zweier Klassen:
$(v+U)+(v'+U) = [mm] \{v + u | u \in U\} [/mm] + [mm] \{v' + u' | u' \in U\} [/mm] = [mm] \{v+v'+u+u' | u,u' \in U\}$=...
[/mm]
Nun ist aber $u+u'=:u''$ wieder ein Element aus U. Es genügt also auch nur einen Vektor zu addieren aus U um die gleiche Klasse zu erhalten:
...=$ [mm] \{v+v'+u'' | u'' \in U\} [/mm] = (v+v')+U$
Bei solchen Klassen genügt es also die Addition jeweils über die Vertreter zu definieren.
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:41 Fr 28.04.2006 | | Autor: | AriR |
wäre dieser beweis von mir demnach nicht auch richtig?
gruß Ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Fr 28.04.2006 | | Autor: | Micha |
Der Beweis ist natuerlich korrekt. Es sollte dir nur noch mal klar werden, warum man das so machen darf bzw. mit welchen Mathematischen Objekten man es zu tun hat.
Gruss MIcha 
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