lineare unabhängigkeit < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Mo 12.11.2007 | | Autor: | froggie |
| Aufgabe | vektoren $ [mm] v_{1}=\vektor{ 1 \\ 3 \\ 0 \\ 2}, v_{2}=\vektor{3 \\ 9 \\ 2 \\ 8}, v_{3}= \vektor{5 \\10 \\ 7 \\ 12}, v_{4}= \vektor{2 \\ 1 \\ 3 \\ 2}, v_{5}= \vektor{0 \\ 2 \\ -1 \\ 1} [/mm] $ aus $ [mm] \IR^4 [/mm] $ sind gegeben und die Frage ist:
Läßt sich jeder Vekotr v $ [mm] \in \IR^{4} [/mm] $ folgendermaßen darstellen:
v= $ [mm] \lambda_{1}\cdot{}v_{1}+\lambda_{2}\cdot{}v_{2}+\lambda_{3}\cdot{}v_{3}+\lambda_{4}\cdot{}v_{4}+\lambda_{5}\cdot{}v_{5} [/mm] $
mit geeigent gewwählten $ [mm] \lambda_{i} \in \IR [/mm] |
also der tipp war diese aufgabe mit einem gegenbeispiel zu lösen.....
das heißt man muss einen vektor finden, der sich nicht aus den fünf vektoren darstellen lässt..... damit hab ich meine probleme
wie löst man ein gleichungssystem mit 5 variblen und 4 gleichungen?!?!? da kann man doch nicht das gaußsche elimierverfahren verwenden, was könnte man denn sonst machen? oder geht es doch mit Gauß?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Mo 12.11.2007 | | Autor: | bonni |
> vektoren [mm]v_{1}=\vektor{ 1 \\ 3 \\ 0 \\ 2}, v_{2}=\vektor{3 \\ 9 \\ 2 \\ 8}, v_{3}= \vektor{5 \\10 \\ 7 \\ 12}, v_{4}= \vektor{2 \\ 1 \\ 3 \\ 2}, v_{5}= \vektor{0 \\ 2 \\ -1 \\ 1}[/mm]
> aus [mm]\IR^4[/mm] sind gegeben und die Frage ist:
>
> Läßt sich jeder Vekotr v [mm]\in \IR^{4}[/mm] folgendermaßen
> darstellen:
>
> v=
> [mm]\lambda_{1}\cdot{}v_{1}+\lambda_{2}\cdot{}v_{2}+\lambda_{3}\cdot{}v_{3}+\lambda_{4}\cdot{}v_{4}+\lambda_{5}\cdot{}v_{5}[/mm]
>
> mit geeigent gewwählten $ [mm]\lambda_{i} \in \IR[/mm]
> also der
> tipp war diese aufgabe mit einem gegenbeispiel zu
> lösen.....
>
> das heißt man muss einen vektor finden, der sich nicht aus
> den fünf vektoren darstellen lässt..... damit hab ich meine
> probleme
>
> wie löst man ein gleichungssystem mit 5 variblen und 4
> gleichungen?!?!? da kann man doch nicht das gaußsche
> elimierverfahren verwenden, was könnte man denn sonst
> machen? oder geht es doch mit Gauß?
ja, das geht mit Gauß.
geh mal so vor:
1.)überlegung wann lässt dich jeder vektor so schreiben-> wenn die vektoren ein erzeugendensystem des R4 bilden
2.)schau dir die definition vom erzeugendensystem an (am besten im lorenz)
3.)dann wirst du drauf kommen, dass die vektoren linear unabhängig voneinander sein müssen wenn sie ein erzeugendensystem sein wollen
->wie zeigst du lineare unabhängigkeit?->schau die definition nach
...usw
ein kleiner tipp am rande seite 39 im lorenz steht diese aufgabe und auf seite 13 das LGS wie man es umformt
diese info hilft dir aber nur weiter wenn du die aufgabe verstanden hast also weißt was ein erzeugendensystem genau ist
grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mo 12.11.2007 | | Autor: | froggie |
was ist wenn man das buch nicht hat? :(
hab das schon versucht mit der linearen abhängigkeit....(hab geschaut, ob die ersten beiden linear abhänging sind und dann immer einen dazugenommen.... )
die ersten 4 sind voneinander linear abhängig ich bekomme jetzt probleme wenn ich den 5. dazunehmen will....
da hab ich dann in der untersten zeile von der Matrik zwei Variablen stehen, ich hab ja 5 variablen und 4 gleichungne, dann kann man ja nicht auf die "richtige " dreickecksform kommen.... :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Mo 12.11.2007 | | Autor: | bonni |
ok du hast also erkannt, dass du prüfen sollst ob die vektoren linear unabhängig voneinander sind.
jetzt hast du ja R4 also wir sind im 4 dimensionalen raum, d.h es können maximal 4 vektoren in diesem raum linear unabhängig voneinander sein.
diese überlegung führt uns dazu, dass nur 4 dieser 5 vektoren linear unabhängig voneinander sein müssen, dass die ein erzeugendensystem des R4 bilden.
hier die definition von linearer unabhängigkeit
http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Unabh%C3%A4ngigkeit
so nun schreibst du alle vektoren in EINE matrix.das heißt jeder vektor wird zu einer spalte. du hast nun eine matrix mit 5 spalten und 4 zeilen.
laut der obrigen definition von wikipedia sind die vektoren linear unabhängig, wenn als lösung dieser matrix [mm] \lambda 1=\lambda 2=\lambda 3=\lambda [/mm] 4=0 rauskommt ( das [mm] \lambda [/mm] 5 kannst du ja vernachlässigen, da wir bereits oben gesagt haben dass in R4 maximal 4 vektoren linear unabhängig voneinander sei können)
löse die matrix mit gauß, d.h. forme sie zur einheitsmatrix um, dann wirst du herausbekommen
[mm] \lambda [/mm] 1=0
[mm] \lambda [/mm] 2=0
[mm] \lambda [/mm] 3=0
[mm] \lambda [/mm] 4=irgend eine variable
[mm] \lambda [/mm] 5=irgend eine variable
daraus kannst du dann folgern dass von den 5 vektoren nur 3 linear unabhängig voneinander sind, also die bedingung das 4 linear unabhängig sind nicht erfüllt ist.
-> sie bilden kein erzeugendensystem
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Mo 12.11.2007 | | Autor: | froggie |
hey super!!! vielen dank!!! hab'S jetzt ENDLICH geschnallt!!!! ;)
|
|
|
|
