lineare surjektive Abbildung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Do 14.01.2010 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | | Gegeben sei die Abbildung [mm] f:\IK [/mm] [x] --> [mm] \IK^2 [/mm] mit f(p(x)) = f(p(0),p(1)). Zeigen Sie, dass f linear ist. Ist f surjektiv? |
Hallo, ich bräuchte mal ein wenig Hilfe bitte. Zum einen einen Tipp wie die Lösung mathematisch korrekt aufgeschrieben wird und zum anderen natürlich ob meine Lösung richtig ist.
f(p(x)) = (p(0),p(1))
[mm] f(p_1 [/mm] (x) + [mm] \lambda p_2 [/mm] (x)) = [mm] (p_1 [/mm] (0) + [mm] \lambda p_2 [/mm] (0), [mm] p_1 [/mm] (1)+ [mm] \lambda p_2 [/mm] (1)) =
[mm] (p_1 [/mm] (0), [mm] p_1 [/mm] (1)) + [mm] \lambda (p_2 [/mm] (0), [mm] p_2 [/mm] (1)) = [mm] f(p_1 [/mm] (x)) + [mm] \lambda f(p_2 [/mm] (x))
--> lineare Abbildung
p(x) “trifft” alle möglichen Punkte doch für die oben genannte Abbildung f sind nur die Punkte p(0) und p(1) von Bedeutung, damit sind dann alle Bildpunkte von f „getroffen“
Anders ausgedrückt:
Für alle (p(0), p(1)) existiert ein p(x) : (p(0), p(1)) = f(p(x))
p(x) muss nur in 1 und 0 Bildpunkte besitzen bzw. definiert sein.
-->f ist surjektiv
Oder sehe ich dabei irgendetwas falsch? Danke für jeden Hinweis.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Do 14.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Ja du musst noch genauer begründen warum f surjektiv ist. D.h. für fixiertes [mm] $(a,b)\in\IK^2$ [/mm] konstruiere ein [mm] $p\in\IK[x]$ [/mm] mit $p(0)=a$ und $p(1)=b$!
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:22 Fr 15.01.2010 | | Autor: | Ultio |
Hey danke für die Antwort,
also
für alle [mm] (a,b)\in\IK^2 [/mm] d.h.
p(0)=a und p(1)=b existiert ein p(x), so dass (a,b) = (p(0), p(1)) = f(p(x))
-->f ist surjektiv
aber wie meinst du das mit der Konstruktion von p(x)?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:27 Fr 15.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hey danke für die Antwort,
> also
> für alle [mm](a,b)\in\IK^2[/mm] d.h.
> p(0)=a und p(1)=b existiert ein p(x), so dass (a,b) =
> (p(0), p(1)) = f(p(x))
> -->f ist surjektiv
>
> aber wie meinst du das mit der Konstruktion von p(x)?
Gib konkret ein Polynom p an mit der Eigenschaft: p(0)=a und p(1)=b
FRED
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Fr 15.01.2010 | | Autor: | Ultio |
Gesucht ist also ein Polynom mit den Eigenschaften p(0)=a und p(1) =b
-->
p(0) = a = [mm] \summe_{i=0}^{n} \alpha_i 0^{i}
[/mm]
--> a = [mm] \alpha_0
[/mm]
p(1) = b = [mm] \summe_{i=0}^{n} \alpha_i 1^{i}
[/mm]
--> b = a + [mm] \alpha_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 [/mm] + ... + [mm] \alpha_n
[/mm]
--> b - a = [mm] \alpha_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 [/mm] + ... + [mm] \alpha_n [/mm]
wenn p(x) das erfüllt so ist f surjektiv.
richtig soweit oder fehlt noch etwas für die aufgabe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Fr 15.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gesucht ist also ein Polynom mit den Eigenschaften p(0)=a
> und p(1) =b
> -->
> p(0) = a = [mm]\summe_{i=0}^{n} \alpha_i 0^{i}[/mm]
> -->
> a = [mm]\alpha_0[/mm]
> p(1) = b = [mm]\summe_{i=0}^{n} \alpha_i 1^{i}[/mm]
>
> --> b = a + [mm]\alpha_1[/mm] + [mm]\alpha_2[/mm] + ... + [mm]\alpha_n[/mm]
> --> b - a = [mm]\alpha_1[/mm] +
> [mm]\alpha_2[/mm] + ... + [mm]\alpha_n[/mm]
> wenn p(x) das erfüllt so ist f surjektiv.
> richtig soweit oder fehlt noch etwas für die aufgabe?
Nun gib doch endlich konkret (in Abh. von a und b) solch ein Polymom an. Es darf vom Grad 1 sein, das ist nicht verboten.
FRED
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Fr 15.01.2010 | | Autor: | Ultio |
Ok ich versuche es:
Grad 0 (also konstant)
a=b=p(x)
Grad 1: (der Form mx+n)
n = a
m = b-a
--> p(x) = (b-a)x + a = b x + a(1-x)
Ein Polynom von Grad zwei werde ich jetzt nicht aufstellen, da Interpolation eines Polynoms 2. Grades mit nur zwei Punkten extrem falsch wird (habe oben natürlich keine Interpolation gemacht, da war es noch ein lineares gleichungssystem)
sind das jetzt meine Polynome? Lass ich dann nicht alle höheren Grades außer acht?
Danke dir.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Fr 15.01.2010 | | Autor: | fred97 |
>
> Ok ich versuche es:
> Grad 0 (also konstant)
> a=b=p(x)
Das wird nix
>
> Grad 1: (der Form mx+n)
> n = a
> m = b-a
> --> p(x) = (b-a)x + a = b x + a(1-x)
Bingo !!!!
FRED
> Ein Polynom von Grad zwei werde ich jetzt nicht
> aufstellen, da Interpolation eines Polynoms 2. Grades mit
> nur zwei Punkten extrem falsch wird (habe oben natürlich
> keine Interpolation gemacht, da war es noch ein lineares
> gleichungssystem)
>
> sind das jetzt meine Polynome? Lass ich dann nicht alle
> höheren Grades außer acht?
> Danke dir.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Fr 15.01.2010 | | Autor: | Ultio |
Vielen Dank.
|
|
|
|
