lineare partielle Gleichung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Di 02.11.2010 | | Autor: | snarzhar |
| Aufgabe | Bestimmen Sie explizit die L¨osung des Cauchy–Problems f¨ur die Advektionsgleichung
ut + aux = f in R × R+,
u = g auf R × {t = 0},
wobei a ∈ R konstant sei. Hinweis: Betrachten Sie u l¨angs charakteristischer
Kurven. |
nun, ich habe die Aufgabe nach dem Script vom Hr. Schüler (http://www.math.uni-leipzig.de/~schueler/pde/pde.pdf) zu lösen, wo ab der 7ten Seite erklärt wird, wie man (quasi-)lineare Gleichungen erster Ordnung mit Hilfe von charakteristischen Kurven löst, und nun weiss ich nicht, ob ich alles richtig gelöst habe.
als erstes habe ich t und x umgetauft in x und y, damit ich der im Script ähnliche Notation habe. somit habe ich
ux + auy = f in R × R+,
u = g auf R × {x = 0},
nun als erstes bestimme ich x'(t), y'(t) und u'(t) und bekomme
x'(t) = 1, y'(t) = a, u'(t) = f
weiter bestimme ich
x(0,s) = 0, y(0,s) = s, u(0,s) = g
Das intergrieren von oben bestimmten Ableitungen ergibt
x(t,s) = t + f1(s), y(t,s) = at + f2(s), u(t,s) = [mm] \integral{f(t) dt} [/mm] + f3(s)
mit den Anfagswerten zusammen ergibt sich :
x(t,s) = t, y(t,s) = at + s
und u(t,s) = [mm] \integral{f dt} [/mm] + g (? bin mir nicht sicher, ob man das so machen darf.)
nun ersetzen wir t durch x(weil x = t) und bekommen, y = ax + s
=> s = y - ax
=> u(x,y) = [mm] \integral{f dx} [/mm] + g
ist es richtig?! Komme auf keine gute Sachen wenn ich die Lösung in die Gleichung einsetze.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 Di 02.11.2010 | | Autor: | snarzhar |
kann ich irgendwie überprüfen ob die Lösung richtig ist? mit dem einfachen Ableiten von f ung ist es bisschen schwierig, da die Funktionen nicht explizit beschrieben sind...
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Hallo snarzhar,
> Bestimmen Sie explizit die L¨osung des Cauchy–Problems
> f¨ur die Advektionsgleichung
> ut + aux = f in R × R+,
> u = g auf R × {t = 0},
> wobei a ∈ R konstant sei. Hinweis: Betrachten Sie u
> l¨angs charakteristischer
> Kurven.
> nun, ich habe die Aufgabe nach dem Script vom Hr. Schüler
> (http://www.math.uni-leipzig.de/~schueler/pde/pde.pdf) zu
> lösen, wo ab der 7ten Seite erklärt wird, wie man
> (quasi-)lineare Gleichungen erster Ordnung mit Hilfe von
> charakteristischen Kurven löst, und nun weiss ich nicht,
> ob ich alles richtig gelöst habe.
>
> als erstes habe ich t und x umgetauft in x und y, damit ich
> der im Script ähnliche Notation habe. somit habe ich
>
> ux + auy = f in R × R+,
> u = g auf R × {x = 0},
>
> nun als erstes bestimme ich x'(t), y'(t) und u'(t) und
> bekomme
> x'(t) = 1, y'(t) = a, u'(t) = f
> weiter bestimme ich
> x(0,s) = 0, y(0,s) = s, u(0,s) = g
>
> Das intergrieren von oben bestimmten Ableitungen ergibt
> x(t,s) = t + f1(s), y(t,s) = at + f2(s), u(t,s) =
> [mm]\integral{f(t) dt}[/mm] + f3(s)
>
> mit den Anfagswerten zusammen ergibt sich :
> x(t,s) = t, y(t,s) = at + s
> und u(t,s) = [mm]\integral{f dt}[/mm] + g (? bin mir nicht
> sicher, ob man das so machen darf.)
Wir haben die Gleichung
[mm]u_{t}\left(t,s\right)=f\left(t,s\right)[/mm]
Nun kannst auf beiden Seiten zwischen 0 und t integrieren:
[mm]\integral_{0}^{t}{u_{t}\left(t,s\right) \ dt}=\integral_{0}^{t}{f\left(t,s\right) \ dt}[/mm]
Das liefert dann:
[mm]}u\left(t,s\right) - u\left(0,s\right)=\integral_{0}^{t}{f\left(t,s\right) \ dt}[/mm]
Demnach:
[mm]}u\left(t,s\right) =u\left(0,s\right)+\integral_{0}^{t}{f\left(t,s\right) \ dt}[/mm]
>
> nun ersetzen wir t durch x(weil x = t) und bekommen, y = ax
> + s
> => s = y - ax
>
> => u(x,y) = [mm]\integral{f dx}[/mm] + g
>
> ist es richtig?! Komme auf keine gute Sachen wenn ich die
> Lösung in die Gleichung einsetze.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Di 02.11.2010 | | Autor: | snarzhar |
Also war meine Antwort am Ende richtig?
Wenn ja, würde ich gern gleich eine weitere Aufgabe mitreinstellen, da sie sich direkt auf die erste Bezieht :
L¨osen Sie das Cauchy–Problem f¨ur die Wellengleichung
utt − cuxx = 0 in R × R+,
u = g, ut = h auf R × {t = 0}
unter Benutzung von Aufgabe 1 explizit.
hier verstehe ich nicht ganz, was von mir gewollt wird bzgl der 1ten Aufgabe((
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Hallo snarzhar,
> Also war meine Antwort am Ende richtig?
Ich habe nochmal über die Lösungen der PDE nachgedacht.
Es gilt:
[mm]u\left(t,s\right)=\integral_{}^{}{f\left(t,s\right) \ dt}+f3\left(s\right)[/mm]
Eine Konstante ist s.
Obiges umgeformt nach [mm]f3\left(s\right)[/mm] ergibt:
[mm]f3\left(s\right)=u\left(t,s\right)-\integral_{}^{}{f\left(t,s\right) \ dt}[/mm]
Somit sind allgemeine Lösungen der PDE, diejenigen,
die der Gleichung
[mm]w\left(s,u\left(t,s\right)-\integral_{}^{}{f\left(t,s\right) \ dt\right)=0[/mm]
genügen, wobei w eine stetige Funktion ist.
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> Wenn ja, würde ich gern gleich eine weitere Aufgabe
> mitreinstellen, da sie sich direkt auf die erste Bezieht :
>
> L¨osen Sie das Cauchy–Problem f¨ur die Wellengleichung
> utt − cuxx = 0 in R × R+,
> u = g, ut = h auf R × {t = 0}
> unter Benutzung von Aufgabe 1 explizit.
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> hier verstehe ich nicht ganz, was von mir gewollt wird bzgl
> der 1ten Aufgabe((
Ich denk mir mal Du sollst mittels einer Transformation
diese Wellengleichung auf zwei PDE's zurückführen, die
die Gestalt von Aufgabe 1 besitzen.
Gruss
MathePower
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