lineare abhängigkeit durch par < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Mi 03.03.2010 | | Autor: | hellsy |
| Aufgabe | welchen Wert Muss der parameter a haben,damit r,s,?, linar abhängig sind?
vektor r(a/3/2),vektor s(/2/a/1), vektort(-8/-1-4)
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hallo zusammen,
erneutes problem bei paratmeterdarstellung in bezug auf lineare abhängigkeit von r,s,t?,
vielen dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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meines erachtens stimmt mit deinem ersten vektor etwas nicht.
der ist so oder so nicht linear anhängig vom 3.
ansonsten müsste a=0.25 sein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Mi 03.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo hellsy,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Stelle die Bedingung für lineare Abhängigkeit auf und daraus dann ein Gleichungssystem:
[mm] $$r*\vektor{a\\3\\2}+s*\vektor{2\\a\\1}+t*\vektor{-8\\-1\\-4} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{0\\0\\0}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Mi 03.03.2010 | | Autor: | hellsy |
ich habe das gleichungssysem hversucht zu lösen.aber das a stört mich jedoch ein wneig.es wäre sehr hilfreich wenn mir einer den weg zu der lösung aufzeigen könnte.
die lsg,laut buch, lautet übrigens a=4 und nicht a=0,25
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Hallo Hellsy,
in dem Gleichingssystem geht es ja darum, eine Bedingung für a zu finden..
Stell z.B die 3. Gleichung nach s um --> s = 4t - 2r
Dann setzt du s in die 2. Gleichung ein --> t = [mm] \bruch{r(2a - 3)}{4a}
[/mm]
Beides dann in die 1.Gleichung und am Ende steht a = 4
Grüße Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Do 04.03.2010 | | Autor: | hellsy |
danke für die lsg!
gäbe es da auch eine möglichkeit mir den weg über das additions bzw. über das gaußsche verfahren zu zeigen??
lg
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Habe ich auch dran gesessen, seh aber keinen Weg über Gauß...
Da a einmal an 1.Stelle und einmal an 2.Stelle steht, hab ich kein Ergebnis bekommen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:27 Do 04.03.2010 | | Autor: | hellsy |
ich habs auch mal irgedwann über einsetzung versucht.
ich habe aber nach a umgestellt.nur leider fehlten mir die weiteren schritte des einsetzungsverfahrens ,um dann auf die lsg.zu kommen.aber es erschien mir auch etwas einfacher mit diesme verfahren auf das richtige ergebnis zu kommen .meinst du könntest den weg zu den a=4 etwas detalierter beschreiben??
:)> Habe ich auch dran gesessen, seh aber keinen Weg über
> Gauß...
> Da a einmal an 1.Stelle und einmal an 2.Stelle steht, hab
> ich kein Ergebnis bekommen...
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Hallo,
ich setz hier der Einfachheit halber mal die von Angela freundlicher weise korriegierte und damit vollständige Fassung der Lösung rein...
Ich hatte mir da ein paar Sachen gespart..
> Also ausgehend von $ [mm] r\cdot{}\vektor{a \\ 3\\2} [/mm] $ + $ [mm] s\cdot{}\vektor{2 \\ a\\1} [/mm] $
> + $ [mm] t\cdot{}\vektor{-8 \\ -1\\-4} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{0 \\ 0\\0} [/mm] $ hast du ja 3
> Gleichungen
> ra + 2s - 8t = 0 (I)
> 3r + as - t = 0 (II)
> 2r + s - 4t = 0 (III)
mit den drei (!) Variablen r,s,t (!).
Um die Frage nach der linearen Unabhängigkeit zu beantworten, ist nun zu untersuchen, für welche Wahl des Parameters a es nur die triviale Lösung r=s=t=0 gibt, in diesem Fall sind die drei Vektoren linear unabhängig, und für welche Wahl von a es weitere Lösungen gibt.
>
> nun (III) nach s umstellen --> s = 4t - 2r und das ganze
> in (II)
> 3r +a(4t - 2r) - t = 0 --> r(3 - 2a) + 4at = 0 --> t =
> $ [mm] \bruch{r(2a - 3)}{4a} [/mm] $
Achtung: hier müßtest Du notieren t = $ [mm] \bruch{r(2a - 3)}{4a} [/mm] $ für $ [mm] \red{a\not=0} [/mm] $
Der Fall a=0 müßte nun später gesondert untersucht werden.
Die Rechnung ist aber falsch.
Aus
> 3r +a(4t - 2r) - t = 0
bekommt man nämlich r(3-2a) - t(4a -1)=0
1. Fall: $ [mm] 4a-1\not=0, [/mm] $ dh. $ [mm] a\not=\bruch{1}{4} [/mm] $
Dann ist $ [mm] t=\bruch{3-2a}{4a-1}r, [/mm] $
und man erhält ... (jetzt munter weiterrechnen, man wird drauf kommen, daß es einen Unterschied macht, ob a=4 oder $ [mm] a\not=4) [/mm] $
2. Fall: $ [mm] a=\bruch{1}{4} [/mm] $
Man erhält r=0 und s=4t, also lineare Abhängigkeit, denn r=0, s=4, t=1 ist eine nichttriviale Lösung des Systems, also sind die Vektoren für $ [mm] a=\bruch{1}{4} [/mm] $ linear abhängig.
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>
> Nun noch t und s in (I) : ra + $ [mm] 8\cdot{}\bruch{r(2a - 3)}{4a} [/mm] $ - 4r - $ [mm] 8\cdot{}\bruch{r(2a - 3)}{4a} [/mm] $ = 0
> --> r(a-4) = 0 --> (a-4) = 0 --> a = 4
Die Folgerung ist nicht richtig.
Man müßte hier die beiden Fälle a=4 und $ [mm] a\not=4 [/mm] $ für den Parameter a getrennt weiteruntersuchen, wenn man das Problem in seinem vollen Umfang bearbeiten möchte.
In dem Falle, wo man in einem anderen Gleichungssystem mit den Variablen x und y mal eine Gleichung x(y-4)=0 vorkommt, folgt (x=0 oder y=4), und diese beiden Fälle sind weiter zu untersuchen.
Gruß v. Angela
I stand corrected  Danke und Gruß Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Do 04.03.2010 | | Autor: | hellsy |
peeerfekt...genau so habe ich mir die lsg. vorgstellt..:)
leider hakt es da immer bei mir so bald parameter auftauchen.
ich schreibe morgen eine klausur zum thema vektoren und da wird höchstwahrscheinlich eine parameteraufgabe vorkommen.
ich hänge schon wieder an einer anderen aber da wird wohl ein neuer thread für nötig sein,weil die parameter in einer gradegleichung vorkommen.
vielen dank für die mühe;)
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(Fast) kein Problem. Sieh den Parameter einfach als Konstante an, die du solange einfach mitrumschleppst, bis du eine Bestimmungsgleichung für sie gefunden hast....ich weiss ist ein bisschen gewöhnungsbedürftig, aber so ist das eben, viel Erfolg morgen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:43 Do 04.03.2010 | | Autor: | hellsy |
Vielen dank..:)
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Hallo,
> Also ausgehend von [mm]r*\vektor{a \\ 3\\2}[/mm] + [mm]s*\vektor{2 \\ a\\1}[/mm]
> + [mm]t*\vektor{-8 \\ -1\\-4}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0\\0}[/mm] hast du ja 3
> Gleichungen
> ra + 2s - 8t = 0 (I)
> 3r + as - t = 0 (II)
> 2r + s - 4t = 0 (III)
mit den drei (!) Variablen r,s,t (!).
Um die Frage nach der linearen Unabhängigkeit zu beantworten, ist nun zu untersuchen, für welche Wahl des Parameters a es nur die triviale Lösung r=s=t=0 gibt, in diesem Fall sind die drei Vektoren linear unabhängig, und für welche Wahl von a es weitere Lösungen gibt.
>
> nun (III) nach s umstellen --> s = 4t - 2r und das ganze
> in (II)
> 3r +a(4t - 2r) - t = 0 --> r(3 - 2a) + 4at = 0 --> t =
> [mm]\bruch{r(2a - 3)}{4a}[/mm]
Achtung: hier müßtest Du notieren t = [mm]\bruch{r(2a - 3)}{4a}[/mm] für [mm] \red{a\not=0}
[/mm]
Der Fall a=0 müßte nun später gesondert untersucht werden.
Die Rechnung ist aber falsch.
Aus
> 3r +a(4t - 2r) - t = 0
bekommt man nämlich r(3-2a) - t(4a -1)=0
1. Fall: [mm] 4a-1\not=0, [/mm] dh. [mm] a\not=\bruch{1}{4}
[/mm]
Dann ist [mm] t=\bruch{3-2a}{4a-1}r,
[/mm]
und man erhält ... (jetzt munter weiterrechnen, man wird drauf kommen, daß es einen Unterschied macht, ob a=4 oder [mm] a\not=4)
[/mm]
2. Fall: [mm] a=\bruch{1}{4}
[/mm]
Man erhält r=0 und s=4t, also lineare Abhängigkeit, denn r=0, s=4, t=1 ist eine nichttriviale Lösung des Systems, also sind die Vektoren für [mm] a=\bruch{1}{4} [/mm] linear abhängig.
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>
> Nun noch t und s in (I) : ra + [mm]8*\bruch{r(2a - 3)}{4a}[/mm] - 4r - [mm]8*\bruch{r(2a - 3)}{4a}[/mm] = 0
> --> r(a-4) = 0 --> (a-4) = 0 --> a = 4
Die Folgerung ist nicht richtig.
Man müßte hier die beiden Fälle a=4 und [mm] a\not=4 [/mm] für den Parameter a getrennt weiteruntersuchen, wenn man das Problem in seinem vollen Umfang bearbeiten möchte.
In dem Falle, wo man in einem anderen Gleichungssystem mit den Variablen x und y mal eine Gleichung x(y-4)=0 vorkommt, folgt (x=0 oder y=4), und diese beiden Fälle sind weiter zu untersuchen.
Gruß v. Angela
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> danke für die lsg!
>
> gäbe es da auch eine möglichkeit mir den weg über das
> additions bzw. über das gaußsche verfahren zu zeigen??
Hallo,
es kommen zu wenig Aktivitäten von Dir.
Hier würde ich z.B. erwarten, daß Du mal zeigst, wie Du angesetzt hast, und daß Du dann bis zu der Stelle weiterrechnest, bis zu der Du gekommen bist.
Dann bekommt man eine Ahnung von den Schwierigkeiten, aber auch von den Schreibweisen.
Beim Gaußverfahren würdest Du mit der Koeffizientenmatrix [mm] \pmat{a&2&-8\\3&a&-1\\2&1&-4} [/mm] starten.
Wie weit kommst Du denn auf dem Weg zur Zeilenstufenform?
Eine schnelle Möglichkeit zu erfahren, für welche a die Vektoren abhängig sind, bietet hier auch der Weg über die Determinante: schau für welche a die Det. =0 ist. In diesem Falle sind die Vektoren linear abhängig.
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Über die Determinante ist natürlich noch einfacher, allerdings kommen auf diesem Weg dann ja 2 Lösungen raus
[mm] a_{1} [/mm] = 4
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Einsetzen von [mm] a_{2} [/mm] ergibt r = 0; s = 4t damit sind nur noch die beiden letzten Vektoren linear abhängig oder? Also Lösung [mm] a_{1} [/mm] = 4
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> Über die Determinante ist natürlich noch einfacher,
> allerdings kommen auf diesem Weg dann ja 2 Lösungen raus
>
> [mm]a_{1}[/mm] = 4
> [mm]a_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
Hallo,
ja, genau.
Für diese beiden Werte sind die drei Vektoren linear abhängig, für alle anderen unabhängig.
>
> Einsetzen von [mm]a_{2}[/mm] ergibt r = 0; s = 4t damit sind nur
> noch die beiden letzten Vektoren linear abhängig oder?
Ich weiß nicht genau, was Du hiermit meinst.
Für [mm] a_2=\bruch{1}{4} [/mm] hat man die Vektoren [mm] \vektor{\bruch{1}{4}\\3\\2}, \vektor{2\\\bruch{1}{4}\\1}, \vektor{-8\\-1\\-4}, [/mm] und es ist 0* [mm] \vektor{\bruch{1}{4}\\3\\2}+$* \vektor{2\\\bruch{1}{4}\\1} +1*\vektor{-8\\-1\\-4}= [/mm] Nullvektor, also sind die drei Vektoren linear abhängig.
> Also Lösung [mm]a_{1}[/mm] = 4
Hier hat man die Vektoren [mm] \vektor{4\\3\\2}, \vektor{2\\4\\1}, \vektor{-8\\-1\\-4}, [/mm] und man hat [mm] -3\vektor{4\\3\\2} +2\vektor{2\\4\\1}-1*\vektor{-8\\-1\\-4}= [/mm] Nullvektor, also sind auch diese vektoren linear abhängig.
Nun sollte man doch eigentlich davon ausgehen, daß man mit dem Gaußalgorithmus auch dieses Ergebnis findet. Mal gucken:
$ [mm] \pmat{a&2&-8\\3&a&-1\\2&1&-4} [/mm] $ --> $ [mm] \pmat{1&0.5&-2\\a&2&-8\\3&a&-1} [/mm] $ --> [mm] \pmat{1&0.5&-2\\0&0.5a-2&-2a+8\\0&1.5-a&5}--> \pmat{1&0.5&-2\\0&a-4&-4a+16\\0&1.5-a&5} [/mm] -->
1. Fall a=4
--> [mm] \pmat{1&0.5&-2\\0&0&0\\0&1.5-a&5} [/mm]
Rang <3, also linear abhängig
2. Fall [mm] a\not=0
[/mm]
[mm] -->\pmat{1&0.5&-2\\0&1&-4\\0&1.5-a&5} -->\pmat{1&0.5&-2\\0&1&-4\\0&0&1+4a} [/mm]
Rang =2 für [mm] a=\bruch{1}{4}, [/mm] also linear abhängig
Rang =3 sonst, also linear unabhängig.
Insgesamt bekommt man: die Vektoren sind linear unabhängig für [mm] a\not=\bruch{1}{4}, [/mm] 4, sonst linear abhängig.
Gruß v. Angela
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