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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Di 07.12.2010 | | Autor: | UNR8D |
| Aufgabe | Sei V ein R-Vektorraum und {a,b,c,d,e}-Teilmenge von V eine linear unabhängige Menge.
Überprüfen Sie ob die Vektoren
v(1)=a+b+c
v(2)=2a+2b+2c-d
v(3)=a-b-e
v(4)=5a+6b-c+d+e
v(5)=a-c+3e
v(6)a+b+d+e
linear unabhängig sind und bestimmen Sie eine Basis von span(v1,v2,...,v6). |
Guten Abend,
ich weis gerade nicht so recht wie ich diese Aufgabe lösen soll.
Klar, v1,..v6 sind Vektoren, die jeweils wieder aus anderen Vektoren a,b,c,d,e zusammengesetzt sind.
Lineare Unabhängigkeit gilt dann, wenn sich aus v1,..,v6 der Nullvektor nur auf triviale Weise bilden lässt.
Es scheint mir nicht sonderlich zielführend das v1 bis v6 einfach zu addieren und verschiedene Koeffizienten einzuführen.
Ich nehme an ich muss das ganze als lineares Gleichungssystem ansehen, aber was genau muss ich dann zeigen?
lg
unr8d
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> Sei V ein R-Vektorraum und {a,b,c,d,e}-Teilmenge von V eine
> linear unabhängige Menge.
> Überprüfen Sie ob die Vektoren
> v(1)=a+b+c
> v(2)=2a+2b+2c-d
> v(3)=a-b-e
> v(4)=5a+6b-c+d+e
> v(5)=a-c+3e
> v(6)a+b+d+e
> linear unabhängig sind und bestimmen Sie eine Basis von
> span(v1,v2,...,v6).
> Guten Abend,
> ich weis gerade nicht so recht wie ich diese Aufgabe
> lösen soll.
Hallo,
> Klar, v1,..v6 sind Vektoren, die jeweils wieder aus
> anderen Vektoren a,b,c,d,e zusammengesetzt sind.
Genau.
> Lineare Unabhängigkeit gilt dann, wenn sich aus v1,..,v6
> der Nullvektor nur auf triviale Weise bilden lässt.
Ja!
> Es scheint mir nicht sonderlich zielführend das v1 bis v6
> einfach zu addieren und verschiedene Koeffizienten
> einzuführen.
Doch.
Du hast alles, was wichtig ist, bereits genannt.
Zu klären ist, ob aus [mm] r_1v_1+...+r_6v_6=0 [/mm] folgt, daß [mm] r_1=...=r_6 [/mm] =0 ist.
Schauen wir halt mal nach:
sei [mm] r_1v_1+...+r_6v_6=0 [/mm]
==> ...
Setz jetzt die Darstellung der [mm] v_i [/mm] als linearkombination von a,..., e ein, und sortiere dann nach a, b, ..., e.
Bedenke, daß a,..., e linear unabhängig sind.
Was weißt Du über die Koeffizienten?
Aus diesem Wissen erhältst Du ein LGS.
Gruß v. Angela
> Ich nehme an ich muss das ganze als lineares
> Gleichungssystem ansehen, aber was genau muss ich dann
> zeigen?
>
> lg
> unr8d
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mi 08.12.2010 | | Autor: | UNR8D |
Hallo Angela,
danke für die Antwort! Da habe ich meine Überlegung wohl nicht ganz zu Ende gedacht ;)
Leider komme ich so wie du sagst nicht ganz zum Ziel.
Wenn ich das ganze nach a,...,e sortiere, welche ja linear unabhängig sind, müssen die Klammern also jeweils 0 werden woraus ich mir ein Gleichungssystem aufstellen kann.
Dieses hat dann 5 Gleichungen bei 6 Variablen. Wenn ich da dann rumbastel bekomm ich am Ende ne Beziehung (11 r(5) = -3 r(6) ). Das Gleichungssystem hat also wohl unendlich viele Lösungen. Ok das sagt mir wohl schonmal, dass die Vektoren linear Abhängig sind.
Nun soll ich jedoch eine Basis bestimmen und da komme ich so nicht wirklich weiter (jedenfalls fällt mir nix ein).
Also habe ich stattdessen probiert die Vektoren v1-v6 als Matrix aufzuschreiben und die Zeilenstufenform zu bilden, die so aussieht.
a b c 0 0
0 b -6c d e
0 0 -c d e
0 0 0 -d 0
0 0 0 0 -4e
0 0 0 0 0
Wenn das also so funktioniert und ich mich nicht verrechnet hab, ist das ja jetzt eine solche Basis die ich bestimmen sollte und da diese nur aus 5 Vektoren besteht, ist auch gezeigt dass v1-v6 linear abhängig sind.
Ist das so korrekt?
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Hallo UNR8D,
> Hallo Angela,
>
> danke für die Antwort! Da habe ich meine Überlegung wohl
> nicht ganz zu Ende gedacht ;)
>
> Leider komme ich so wie du sagst nicht ganz zum Ziel.
> Wenn ich das ganze nach a,...,e sortiere, welche ja linear
> unabhängig sind, müssen die Klammern also jeweils 0
> werden woraus ich mir ein Gleichungssystem aufstellen
> kann.
> Dieses hat dann 5 Gleichungen bei 6 Variablen. Wenn ich da
> dann rumbastel bekomm ich am Ende ne Beziehung (11 r(5) =
> -3 r(6) ). Das Gleichungssystem hat also wohl unendlich
> viele Lösungen. Ok das sagt mir wohl schonmal, dass die
> Vektoren linear Abhängig sind.
Ja, das Gleichungsysstem sagt Dir, welche Vektoren
linear abhängig, und welche linear unabhängig sind.
> Nun soll ich jedoch eine Basis bestimmen und da komme ich
> so nicht wirklich weiter (jedenfalls fällt mir nix ein).
>
> Also habe ich stattdessen probiert die Vektoren v1-v6 als
> Matrix aufzuschreiben und die Zeilenstufenform zu bilden,
> die so aussieht.
Schreib hier keine Vektoren in die Matrix, sondern deren Koeffizienten.
Bsp. v1=a+b+c=1*a+1*b+1*c+0*d+0*e
Dann lautet die erste Zeile der Matrix: [mm]\pmat{1 & 1 & 1 & 0 & 0}[/mm]
> a b c 0 0
> 0 b -6c d e
> 0 0 -c d e
> 0 0 0 -d 0
> 0 0 0 0 -4e
> 0 0 0 0 0
>
> Wenn das also so funktioniert und ich mich nicht verrechnet
> hab, ist das ja jetzt eine solche Basis die ich bestimmen
> sollte und da diese nur aus 5 Vektoren besteht, ist auch
> gezeigt dass v1-v6 linear abhängig sind.
> Ist das so korrekt?
Gruss
MathePower
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