matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Abbildungenlineare Unabhängigkeit
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Lineare Abbildungen" - lineare Unabhängigkeit
lineare Unabhängigkeit < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

lineare Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:59 Mo 04.01.2010
Autor: Rudy

Aufgabe
Hab die Aufgabe von hier:
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/interaufg/interaufg969/

Also es kommt mir logisch vor, dass man aus l.a. Vektoren durch eine lineare Abb. keine l.u. Vektoren bekommen kann. Aber wie kann man das formal aufschreiben (als Beweis)?

Bei den anderen genauso, ich finde Gegenbeispiele schnell, aber das mit dem Beweisen find ich knifflig.

Zur2. und 3. hab ich als Gegenbeispiel eine Matrix, in der 2 Spalten l.a. sind, is das OK?

Könntet ihr mir bei der 1. und 4. bei dem Beweis helfen? Danke =)

        
Bezug
lineare Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:26 Mo 04.01.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Rudi,

> Hab die Aufgabe von hier:
>  
> http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/interaufg/interaufg969/
>  Also es kommt mir logisch vor, dass man aus l.a. Vektoren
> durch eine lineare Abb. keine l.u. Vektoren bekommen kann.
> Aber wie kann man das formal aufschreiben (als Beweis)?
>  
> Bei den anderen genauso, ich finde Gegenbeispiele schnell,
> aber das mit dem Beweisen find ich knifflig.
>  
> Zur2. und 3. hab ich als Gegenbeispiel eine Matrix, in der
> 2 Spalten l.a. sind, is das OK?

Zeig mal die Bspe her ...

>  
> Könntet ihr mir bei der 1. und 4. bei dem Beweis helfen?
> Danke =)

1) ist Kontraposition von 4) bzw. umgekehrt, es genügt, eines zu zeigen, das andere folgt dann er Kontraposition.

Zeige etwa 4):

Dazu mache einen indirekten Beweis:

Seien also [mm] $T(v_1),..., T(v_n)$ [/mm] linear unabhängig.

Dh. per Definition: [mm] $0=\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i\cdot{}T(v_i)\Rightarrow \lambda_i=0 [/mm] \ \ [mm] \forall i\in\{1,..., n\}$ [/mm]

Ann.: [mm] $v_1,..., v_n$ [/mm] linear abhängig.

dh. per Def. [mm] $0=\sum\limits_{i=1}^n\mu_i\cdot{}v_i$ [/mm] und mindestens ein [mm] $\mu_i\neq [/mm] 0$

Dann ist aber [mm] $T(0)=0=T\left(\sum\limits_{i=1}^n\mu_i\cdot{}v_i\right)=\sum\limits_{i=1}^n\mu_i\cdot{}T(v_i)$ [/mm] wegen der Linearität von T.

Dabei ist mind. ein [mm] $\mu_i\neq [/mm] 0$

Worin liegt nun der Widerspruch?


LG

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
lineare Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:36 Mo 04.01.2010
Autor: Rudy

Also ein Bsp is z.B.:

[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 2 } [/mm]

Wenn man die Matrix mit den Vektoren der kanonischen Basis multipliziert(l.u.) kommen 2 l.a. Vektoren raus. Umkehrschluss geht damit auch.

Bezug
                
Bezug
lineare Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:41 Mo 04.01.2010
Autor: Rudy

Ah hey cool danke!

Habs glaub verstanden. Weil ein [mm] \mu [/mm] ungleich 0 ist, haben wir einen Wiederspruch zur Annahme, dass alle [mm] \lambda [/mm] ungleich 0 sind. daher müssen die Vektoren l.u. gewesen sein.

Ich schau mir nach dem Mittagessen die 3 nochmal an, ob ich da auch so ansetzen kann.

Danke dir =)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]