lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Dimension der Vektorräume [mm]V_1 = \IC^n[/mm] über [mm]\IC[/mm] und [mm]V_2 = \IC^n[/mm] über [mm]\IR[/mm] und geben Sie jeweils eine mögliche Basis an. (ohne Beweis!)
Untersuchen Sie die Vektoren
[mm]\vektor{i \\ 1 \\ 0};\vektor{2+i\\i\\i};\vektor{2i\\-1-i\\-1}[/mm]
des [mm]\IC^3[/mm] auf lineare Unabhängigkeit. Betrachten Sie dabei [mm]\IC^3[/mm] als Vektorraum über [mm] \IR [/mm] und als Vektorraum über [mm] \IC.
[/mm]
Untersuchen Sie folgenden Elemente des Funktionenraums [mm]Map(\IR, \IR) [/mm] auf lineare Unabhängigkeit:
[mm]f_1(x) = 2x, f_2(x) = 3x+2, f_3(x) = x^2, f_4(x) = (x+2)^2[/mm] |
Bevor ich die Aufgabe mir angeschaut und versucht habe, sie zu lösen, dachte ich eigentlich, dass ich mit komplexen Zahlen umgehen kann. Nun sehe ich das ganz anders.
Stünde oben statt [mm] \IC^n \IR^n [/mm] über [mm] \IR [/mm] würde ich behaupten, ene Basis ist die kanonische Basis. Daraus würde ich schlussfolgern, dass [mm] \IR^n [/mm] über [mm] \IR [/mm] die Dimension n hat. Mit diesem Gedanken im Hinterkopf versuchte ich eine Basis der [mm] \IC^n [/mm] zu finden. Habe mir gedacht, die kanonische Basis geht hier bestimmt auch. Da ich aber komplexe Zahlen nicht als Zahlengerade sondern nur in der Ebene darstellen kann, bin ich versucht zu sagen: Die Dimension ist 2n.
Anschließend habe ich versucht, die lineare Unabhängigkeit der drei angegebenen Vektoren zu untersuchen. Ich stellte wie gewohnt die Gleichung auf:
[mm] \lambda *\vektor{i \\ 1 \\ 0} + \mu * \vektor{2+i\\i\\i} + \nu * \vektor{2i\\-1-i\\-1} = \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm]
und scheiterte kläglich, als ich mir vornahm, das [mm] \lambda, \mu, \nu \in \IR. [/mm] Selbiges passierte mit [mm]\lambda, \mu, \nu \in \IC[/mm]. Ersteres passierte, weil ich nicht wusste, wie ich mit i umgehen soll, wenn ich als Lösung der Gleichung Zahlen aus [mm] \IR [/mm] haben möchte, zweites, weil ich mir nicht mehr sicher bin, wie die Rechenregeln in [mm] \IC [/mm] sind.
Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Mi 02.01.2008 | | Autor: | statler |
> Bestimmen Sie die Dimension der Vektorräume [mm]V_1 = \IC^n[/mm]
> über [mm]\IC[/mm] und [mm]V_2 = \IC^n[/mm] über [mm]\IR[/mm] und geben Sie jeweils
> eine mögliche Basis an. (ohne Beweis!)
> Untersuchen Sie die Vektoren
> [mm]\vektor{i \\ 1 \\ 0};\vektor{2+i\\i\\i};\vektor{2i\\-1-i\\-1}[/mm]
>
> des [mm]\IC^3[/mm] auf lineare Unabhängigkeit. Betrachten Sie dabei
> [mm]\IC^3[/mm] als Vektorraum über [mm]\IR[/mm] und als Vektorraum über [mm]\IC.[/mm]
> Untersuchen Sie folgenden Elemente des Funktionenraums
> [mm]Map(\IR, \IR)[/mm] auf lineare Unabhängigkeit:
> [mm]f_1(x) = 2x, f_2(x) = 3x+2, f_3(x) = x^2, f_4(x) = (x+2)^2[/mm]
> Anschließend habe ich versucht, die lineare Unabhängigkeit
> der drei angegebenen Vektoren zu untersuchen. Ich stellte
> wie gewohnt die Gleichung auf:
> [mm]\lambda *\vektor{i \\ 1 \\ 0} + \mu * \vektor{2+i\\i\\i} + \nu * \vektor{2i\\-1-i\\-1} = \vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> und scheiterte kläglich, als ich mir vornahm, das [mm]\lambda, \mu, \nu \in \IR.[/mm]
> Selbiges passierte mit [mm]\lambda, \mu, \nu \in \IC[/mm]. Ersteres
> passierte, weil ich nicht wusste, wie ich mit i umgehen
> soll, wenn ich als Lösung der Gleichung Zahlen aus [mm]\IR[/mm]
> haben möchte, zweites, weil ich mir nicht mehr sicher bin,
> wie die Rechenregeln in [mm]\IC[/mm] sind.
Aus der letzten Zeile folgt doch sofort
[mm] \mu*i [/mm] + [mm] \nu*(-1) [/mm] = 0, also [mm] \mu*i [/mm] = [mm] \nu.
[/mm]
Und jetzt kommt's: Diese Gleichung hat keine relle Lösung, aber eine (sogar viele) komplexe. Wenn du wirklich mit komplexen Zahlen rechnen kannst, kannst du sie auch sofort hinschreiben. Und dann müßtest du dich mal dem [mm] \lambda [/mm] nähern. Vielleicht hilft dir das auch beim 1. Teil der Aufg. Und der letzte Teil geht anders und einfach.
Gruß
Dieter
|
|
|
| |
|
Ich habe nach einigem Überlegen und probieren, eine komplexe Lösung gefunden. Wenn ich richtig liege, heißt das dann, dass die drei Vektoren in [mm] \IC [/mm] linear abhängig sind und in [mm] \IR [/mm] linear unabhängig. Du meintest, dass mir das beim Lösen des ersten Aufgabenteils helfen würde. Ich bin mir nun sicher, dass die Dimension des Vektorraums über [mm] \IC [/mm] kleiner ist, als die über [mm] \IR. [/mm] Aber ich weiß noch immer nicht, wie ich auf eine mögliche Basis komme.
Beim letzten Aufgabenteil finde ich keine Lösung. Vielleicht kann mir jemand erklären, was ich falsch mache. Folgendes war mein Weg:
[mm]a*(2x)+b*(3x+2)+c*(x^2)+d*(x+2)^2=0[/mm]
[mm]2ax + 3bx+2b+cx^2+d*(x^2+4x+4)=0[/mm]
[mm]2ax + 3bx + 2b + cx^2 + dx^2 + 4dx + 4d = 0[/mm]
[mm]2x(a+2d)+3bx+2b+4d+x^2(c+d)=0[/mm]
Danke schon mal im Voraus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Mo 07.01.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Jennifer!
> Ich habe nach einigem Überlegen und probieren, eine
> komplexe Lösung gefunden. Wenn ich richtig liege, heißt das
> dann, dass die drei Vektoren in [mm]\IC[/mm] linear abhängig sind
> und in [mm]\IR[/mm] linear unabhängig.
So ist es!
> Du meintest, dass mir das
> beim Lösen des ersten Aufgabenteils helfen würde. Ich bin
> mir nun sicher, dass die Dimension des Vektorraums über [mm]\IC[/mm]
> kleiner ist, als die über [mm]\IR.[/mm] Aber ich weiß noch immer
> nicht, wie ich auf eine mögliche Basis komme.
Über [mm] \IC [/mm] ist eine Basis z. B. (1, 0, ... , 0) bis (0, ... , 0, 1). Über [mm] \IR [/mm] mußt du in jeder Koordinate noch irgendwie das i ins Spiel bringen. Es ist doch z = [mm] z_{1} [/mm] + [mm] z_{2}*i, [/mm] damit hast du z als reelle Linearkombination von 1 und i dargestellt. Wie überträgst du das auf längere Vektoren aus dem [mm] \IC^{n}?
[/mm]
> Beim letzten Aufgabenteil finde ich keine Lösung.
> Vielleicht kann mir jemand erklären, was ich falsch mache.
> Folgendes war mein Weg:
>
> [mm]a*(2x)+b*(3x+2)+c*(x^2)+d*(x+2)^2=0[/mm]
> [mm]2ax + 3bx+2b+cx^2+d*(x^2+4x+4)=0[/mm]
> [mm]2ax + 3bx + 2b + cx^2 + dx^2 + 4dx + 4d = 0[/mm]
>
> [mm]2x(a+2d)+3bx+2b+4d+x^2(c+d)=0[/mm]
Da machst du noch nix falsch, aber der entscheidende Schluß fehlt. Auf der linken Seite der letzten Gleichung steht eine Abbildungsvorschrift, die gleichung sagt, daß die Abbildung konstant 0 sein soll für alle x. Was folgt daraus für die Koeffizienten von [mm] x^{2}, [/mm] x und 1?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
Ich habe nun die Lösung. Die Funktionen sind linear abhängig.
Ich habe einen anderen Ansatz gewählt und kam auf die Lösung. Und zwar folgenden: Ich habe mir drei werte genommen und damit drei Vektoren gebildet und diese auf lineare Abhängigkeit untersucht. So kam ich auf :
[mm] -1*2x+2*(3x+2)+1*x^2 = (x+2)^2[/mm]
Danke für deine Antwort.
Wenn ich also für [mm] \IC^n [/mm] die kanonische Basis [mm] (e_1,...,e_n) [/mm] nehmen kann ist dim [mm] \IC^n_{\IC} [/mm] = n. Die Basis besteht ja aus Vektoren aus [mm] \IC^n. [/mm] Ich Ich denke, dann ist die Basis von [mm] \IC^n_{\IR} (e_1,...,e_n,ie_1,...,ie_n). [/mm] Stimmt das? Damit ist die dim [mm] \IC^{n}_{\IR} [/mm] = 2n.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Mo 07.01.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ich habe nun die Lösung. Die Funktionen sind linear
> abhängig.
Richtig!
> Ich habe einen anderen Ansatz gewählt und kam auf die
> Lösung. Und zwar folgenden: Ich habe mir drei werte
> genommen und damit drei Vektoren gebildet und diese auf
> lineare Abhängigkeit untersucht. So kam ich auf :
>
> [mm]-1*2x+2*(3x+2)+1*x^2 = (x+2)^2[/mm]
Das entspricht der Lösung a = -1, b = 2, c = 1 und d = -1 deines anderen Ansatzes.
> Wenn ich also für [mm]\IC^n[/mm] die kanonische Basis [mm](e_1,...,e_n)[/mm]
> nehmen kann ist dim [mm]\IC^n_{\IC}[/mm] = n. Die Basis besteht ja
> aus Vektoren aus [mm]\IC^n.[/mm] Ich Ich denke, dann ist die Basis
> von [mm]\IC^n_{\IR} (e_1,...,e_n,ie_1,...,ie_n).[/mm] Stimmt das?
> Damit ist die dim [mm]\IC^{n}_{\IR}[/mm] = 2n.
Das stimmt zwar, aber die Art der Formulierung gefällt mir insbesondere beim 2. Teil nicht wirklich.
Gruß
Dieter
|
|
|
|
